2018版高中數(shù)學(xué)（人教b版）必修五學(xué)案第二章 2.2.1 等差數(shù)列（一）含答案

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1、www.ks5u.com2.2等差數(shù)列2.2.1等差數(shù)列(一)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3.掌握等差中項(xiàng)的概念，深化認(rèn)識(shí)并能運(yùn)用．[知識(shí)鏈接]第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算．這樣舉行奧運(yùn)會(huì)的年份數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列有什么特征呢？這個(gè)數(shù)列叫什么數(shù)列呢？[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．2．等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)x、

2、A、y組成等差數(shù)列，那么A叫做x與y的等差中項(xiàng)，且A＝.3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)an＝a1＋(n－1)d.4．等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列{an}中，若公差d>0，則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；若公差d<0，則數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.要點(diǎn)一等差數(shù)列的概念例1若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝10＋lg2n，試說(shuō)明數(shù)列{an}為等差數(shù)列．解因?yàn)閍n＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)＝lg2(n∈N＋)．所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．規(guī)律方法判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷an＋1－an(n≥1)是不

3、是一個(gè)與n-4-無(wú)關(guān)的常數(shù)．跟蹤演練1數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n＋5，則此數(shù)列()A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D．是公差為n的等差數(shù)列答案A解析∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差為2的等差數(shù)列．要點(diǎn)二等差中項(xiàng)及其應(yīng)用例2(1)在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．(2)已知數(shù)列{xn}的首項(xiàng)x1＝3，通項(xiàng)xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q為常數(shù))，且x1、x4、x5成等差數(shù)列．求：p，q的值．解(1)∵－1，a，b，c,7成等差數(shù)列，∴b是－1與7的等差中項(xiàng)．∴b＝＝3.又a

4、是－1與3的等差中項(xiàng)，∴a＝＝1.又c是3與7的等差中項(xiàng)，∴c＝＝5.∴該數(shù)列為－1,1,3,5,7.(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②將②代入①，得p＝1.規(guī)律方法在等差數(shù)列{an}中，由定義有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，從而由等差中項(xiàng)的定義知，等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．跟蹤演練2若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5，求m和n的等差中項(xiàng)．解由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為

5、5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中項(xiàng)為＝3.要點(diǎn)三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用例3(1)若{an}是等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.(2)已知遞減等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為18，前三項(xiàng)的乘積為66.求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷－-4-34是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？解(1)設(shè){an}的公差為d，首項(xiàng)為a1.由題意知解得所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.(2)依題意得∴解得或∵數(shù)列{an}是遞減等差數(shù)列，∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋

6、16＝－34，得n＝10.∴－34是數(shù)列{an}的第10項(xiàng)．規(guī)律方法在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1與公差d是兩個(gè)最基本的元素，有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題，如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)a1，d的方程(組)求解，但是要注意公式的變形及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量．跟蹤演練3已知{an}為等差數(shù)列，分別根據(jù)下列條件寫出它的通項(xiàng)公式：(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三項(xiàng)為a,2a－1,3－a.解(1)設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則解得∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由等差中項(xiàng)公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝，∴首項(xiàng)為a＝，公差為2a－1－a＝a－1＝－1＝

7、，∴an＝＋(n－1)×＝＋1.1．已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差d為()A．2B．3C．－2D．－3答案C-4-解析由等差數(shù)列的定義，得d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2.2．在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則角B等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案B解析因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，所以B是A，C的等差中項(xiàng)，則有A＋C＝2