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《競賽專題講座-幾個重要定理》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在學術論文-天天文庫。
1、智浪教育--普惠英才文庫競賽專題講座－幾個重要定理1.正弦定理△ABC中，設外接圓半徑為R，則2.余弦定理△ABC中，有關系???a2=b2+c2-2bccosA；a=ccosB+bcosC；???b2=c2+a2-2cacosB；有時也用它的等價形式b=acosC+ccosA；???c2=a2+b2-2abcosC；c=acosB+bcosA.???3.梅涅(Menelaus)勞斯定理（梅氏線）直線截△ABC的邊BC，CA，AB或其延長線于D、E、F.?則???4.塞瓦定理(Ceva)（塞瓦點）設O是△
2、ABC內任意一點，AB、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則5.塞瓦定理逆定理在△ABC三邊所在直線BC、CA、AB上各取一點D、E、F，若則AD、BE、CE平行或共點。6.斯特瓦爾特定理在△ABC中，若D是BC上一點，且BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，則7.托勒密(Ptolemy)定理??四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內接于一圓的充要條件是8.西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上4智浪教育--
3、普惠英才文庫例題：例11．設AD是△ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：?！痉治觥緾EF截△ABD→（梅氏定理）【評注】也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線例2 2、過△ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：?！痉治觥窟B結并延長AG交BC于M，則M為BC的中點。DEG截△ABM→（梅氏定理）DGF截△ACM→（梅氏定理）∴===1【評注】梅氏定理3．D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，，AD、BE、CF交成△LMN。求S△LMN。【分析】
4、梅氏定理4．以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點?！痉治觥咳叨ɡ?．已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC2=AB2+AB·BC?！痉治觥客欣彰芏ɡ磉^A作BC的平行線交△ABC的外接圓于D，連結BD。則CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。4智浪教育--普惠英才文庫6．已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：。【分析】托勒密定理7．過圓外一點P作圓的兩條切線和一條割線，切點為A,B.所作割線
5、交圓于C,D兩點，C在P,D之間.在弦CD上取一點Q,使求證：8．△ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P，作PE⊥AB于E，延長ED交AC延長線于F。求證：BC·EF=BF·CE+BE·CF?！痉治觥课髂匪啥ɡ恚ㄎ髂匪删€）9．正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE分別被內分點M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5）【分析】面積法4智浪教育--普惠英才文庫GBACEFD353040例1如圖，G是ABC內一點AG，BG，CG的延長線分別交對邊于D，E，F(xiàn)
6、，AGF，BGF，BGD的面積分別為40，30，35。求ABC的面積。例2，已知AC，CE是正六邊行ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內分AC，CE，且使。如果B，M，N三點共線，試求k的值變式，已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內分AC，CE，且使求證：B，M，N三點共線。例3，如圖，過ABC的三個頂點A，B，C作它的外接圓的切線，分別和BC，CA，AB的延長線交于P，Q，R。求證：P，Q，R三點共線。例4。設AF，BE，CD分別是ABC的內角平分線，中線和高，且AC=b
7、,AB=c,求證：AF，BE，CD三線共點的充要條件是cosA=例5，在凸四邊形ABCD中，CAB=CAD，E和F分別是邊CD，BC上的點，且滿足CAF=CAE，求證：AC，BE，DF三線共點。變式：在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交于G，延長DG交BC于F。求證：FAC=EAC。4
