“無刻度天平稱球找特殊”問題全解

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1、說明　　??這篇文章試圖給出稱球問題的一個一般的和嚴格的解答。正因為需要做到一般和嚴格，就要考慮許多平時遇不到的特別情形，所以敘述比較繁瑣。如果對讀者對嚴格的證明沒有興趣，可以只閱讀介紹問題和約定記號的第一、第二節(jié)，以及第三節(jié)末尾27個球的例子，和第五節(jié)13個球和40個球的解法。事實上所有的技巧都已經(jīng)表現(xiàn)在這幾個例子里了。?　　一、問題　　稱球問題的經(jīng)典形式是這樣的：　　"有十二個外表相同的球，其中有一個壞球，它的重量和其它十一個有輕微的（但是可以測量出來的）差別?，F(xiàn)在有一架沒有砝碼的很靈敏的天平，問如何稱三次就保證找出那個壞球，并知道它

2、比標(biāo)準(zhǔn)球重還是輕。"　　這可能是網(wǎng)上被做過次數(shù)最多的一道智力題了。它的一種解法如下：將十二個球編號為1-12。第一次，先將1-4號放在左邊，5-8號放在右邊。　　1.如果右重則壞球在1-8號。　　　　第二次將2-4號拿掉，將6-8號從右邊移到左邊，把9-11號放在右邊。就是說，把1,6,7,8放在左邊，5,9,10,11放在右邊?！　　　　　?.如果右重則壞球在沒有被觸動的1,5號。如果是1號，則它比標(biāo)準(zhǔn)球輕；如果是5號，則它比標(biāo)準(zhǔn)球重?！　　　　　　　〉谌螌?號放在左邊，2號放在右邊?！　　　　　　　　　?.如果右重則1號是壞球且比標(biāo)

3、準(zhǔn)球輕；　　　　　　　　　　2.如果平衡則5號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；　　　　　　　　　　3.這次不可能左重?！　　　　　?.如果平衡則壞球在被拿掉的2-4號，且比標(biāo)準(zhǔn)球輕。　　　　　　　　第三次將2號放在左邊，3號放在右邊?！　　　　　　　　　?.如果右重則2號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；　　　　　　　　　　2.如果平衡則4號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；　　　　　　　　　　3.如果左重則3號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕?！　　　　　?.如果左重則壞球在拿到左邊的6-8號，且比標(biāo)準(zhǔn)球重。　　　　　　　　第三次將6號放在左邊，7號放在右邊?！　　　　　　　　　?.如果右

4、重則7號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；　　　　　　　　　　2.如果平衡則8號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；　　　　　　　　　　3.如果左重則6號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重。　　2.如果天平平衡，則壞球在9-12號?！　　　〉诙螌?-3號放在左邊，9-11號放在右邊?！　　　　　?.如果右重則壞球在9-11號且壞球較重?！　　　　　　　〉谌螌?號放在左邊，10號放在右邊?！　　　　　　　　　?.如果右重則10號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；　　　　　　　　　　2.如果平衡則11號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；　　　　　　　　　　3.如果左重則9號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重?！　　　　　?.如

5、果平衡則壞球為12號?！　　　　　　　〉谌螌?號放在左邊，12號放在右邊?！　　　　　　　　　?.如果右重則12號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；　　　　　　　　　　2.這次不可能平衡；　　　　　　　　　　3.如果左重則12號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕?！　　　　　?.如果左重則壞球在9-11號且壞球較輕?！　　　　　　　〉谌螌?號放在左邊，10號放在右邊?！　　　　　　　　　?.如果右重則9號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；　　　　　　　　　　2.如果平衡則11號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；　　　　　　　　　　3.如果左重則10號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕?！　?.如果左重則壞球

6、在1-8號。　　　　第二次將2-4號拿掉，將6-8號從右邊移到左邊，把9-11號放　　　　在右邊。就是說，把1,6,7,8放在左邊，5,9,10,11放在右邊?！　　　　　?.如果右重則壞球在拿到左邊的6-8號，且比標(biāo)準(zhǔn)球輕。　　　　　　　　第三次將6號放在左邊，7號放在右邊?！　　　　　　　　　?.如果右重則6號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；　　　　　　　　　　2.如果平衡則8號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；　　　　　　　　　　3.如果左重則7號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕。　　　　　　2.如果平衡則壞球在被拿掉的2-4號，且比標(biāo)準(zhǔn)球重?！　　　　　　　〉谌螌?號

7、放在左邊，3號放在右邊?！　　　　　　　　　?.如果右重則3號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；　　　　　　　　　　2.如果平衡則4號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；　　　　　　　　　　3.如果左重則2號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重?！　　　　　?.如果左重則壞球在沒有被觸動的1,5號。如果是1號，　　　　　　　則它比標(biāo)準(zhǔn)球重；如果是5號，則它比標(biāo)準(zhǔn)球輕?！　　　　　　　〉谌螌?號放在左邊，2號放在右邊?！　　　　　　　　　?.這次不可能右重?！　　　　　　　　　?.如果平衡則5號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；　　　　　　　　　　3.如果左重則1號是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；　　夠麻煩的吧

8、。其實里面有許多情況是對稱的，比如第一次稱時的右重和右輕，只需考慮一種就可以了，另一種完全可以比照執(zhí)行。我把整個過程寫下來，只是想嚇唬嚇唬大家?！　∩晕⒃囈幌?，就可以知道只稱兩次是不可能保證找