《彈塑性力學(xué)》第八章 柱體的自由扭轉(zhuǎn)問題

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1、§8-1位移法求解第八章柱體的自由扭轉(zhuǎn)問題§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解§8-3薄膜比擬§8-4等截面桿扭轉(zhuǎn)按應(yīng)力函數(shù)舉例§8-5薄壁桿的自由扭轉(zhuǎn)6/27/20211在第五章的最后我們以圓柱形桿的扭轉(zhuǎn)問題為例來說明空間三維問題的求解過程。（無體力）對于圓桿扭轉(zhuǎn)：（扭矩Mz=MT）應(yīng)力：?x=?y=?z=?xy=0，位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=0,K為單位長扭轉(zhuǎn)角。6/27/20212對于一般等截面桿扭轉(zhuǎn)w?0稱為自由扭轉(zhuǎn)，為了求解一般等截面桿自由扭轉(zhuǎn)，參考圓桿扭轉(zhuǎn)解進(jìn)行假設(shè)——半逆解?！?-

2、1位移法求解對于一般等截面桿自由扭轉(zhuǎn)，可設(shè)位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,（u、v與園桿扭轉(zhuǎn)一致）w=K?(x,y)w不能為零,為x,y函數(shù)。而?(x,y)稱為扭曲函數(shù)。6/27/20213§8-1位移法求解無體力等截面桿扭轉(zhuǎn)位移表達(dá)式已設(shè)定。未知量為：K和?(x,y)。（工程）應(yīng)變分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=K?(x,y)6/27/20214§8-1位移法求解應(yīng)力分量：?x=?y=?z=?xy=0，所有物理量均由K和?(x,y)表示。6/27/20215§8-1位移法求解按位移法求

3、解，基本方程為平衡微分方程（三個）。?或?2?=0兩個平衡微分方程自然滿足，而第三個方程為：6/27/20216§8-1位移法求解基本方程僅為一個，求解?(x,y)的方程。由基本方程可見?(x,y)為一個調(diào)合函數(shù)。同時在基本方程中不出現(xiàn)K。K的確定當(dāng)然也應(yīng)通過邊界條件來確定。扭曲函數(shù)?(x,y)除了滿足?2?=0,還需要滿足邊界條件，6/27/20217§8-1位移法求解首先考察扭桿側(cè)邊的邊界條件：（主要邊界）在側(cè)邊上方向余弦(l,m,n)=(l,m,0)面力：滿足xyozMTMT6/27/20

4、218§8-1位移法求解yxonMT-dxdy上式也可以用——邊界條件用?(x,y)的偏微分表示。由于則代入側(cè)面邊界條件6/27/20219§8-1位移法求解在扭桿端面（如z=0):法線的方向余弦(l,m,n)=(0,0,-1)桿端截面法線方向面力，滿足；合力為零合力矩為xyozMTMT而在桿端截面面內(nèi)的面力分布不清楚，應(yīng)用圣維南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求6/27/202110§8-1位移法求解上式也可以表示為可以證明當(dāng)扭曲函數(shù)?(x,y)在主要邊界上力邊界條件滿足時，則和自然滿

5、足。見以下：6/27/202111§8-1位移法求解利用格林公式?2?=06/27/202112§8-1位移法求解而第三個方程為：——扭矩MT與K和?(x,y)的關(guān)系。小結(jié)：用位移法求解扭轉(zhuǎn)問題歸結(jié)為求解扭曲函數(shù)?(x,y)和單位扭轉(zhuǎn)角K。6/27/202113?2?=0在V上在桿側(cè)邊上由求?(x,y)§8-1位移法求解當(dāng)?(x,y)確定后，利用桿端面條件——求K令——扭轉(zhuǎn)剛度當(dāng)?(x,y)和K均找到后，則扭桿的位移、應(yīng)力均可求出。6/27/202114作業(yè)：證明扭曲函數(shù)能用來求橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)

6、問題，其中a和b為橢圓截面的半軸長度，并且扭矩為6/27/202115§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解按位移法求解扭轉(zhuǎn)問題要求在V內(nèi)求解調(diào)和方程?2?=0,其邊界條件(?(x,y)的微分形式）但能滿足邊界條件調(diào)合函數(shù)?(x,y)是不易找到的。下面討論按應(yīng)力法求解等截面桿扭轉(zhuǎn)問題基本方程以及應(yīng)力函數(shù)法求解等截面桿扭轉(zhuǎn)問題的作法。6/27/202116§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解2.1按應(yīng)力法求解方程同圓桿扭轉(zhuǎn)類似，設(shè)?x=?y=?z=?xy=0僅存在?zx(x,y)=?xz和?zy(x,y)=?yz兩個應(yīng)力分量，

7、將應(yīng)力分量代入應(yīng)力法的基本方程九個（三個平衡和六個相容方程）6/27/202117§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解三個平衡方程：前兩式自然滿足，剩下一個控制方程無體力相容方程為：由于設(shè)?x=?y=?z=0，??=06/27/202118§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解則相容方程中有四個自然滿足，僅剩下兩個控制方程?2?zx=0和?2?zy=0按應(yīng)力法求解基本方程為三個?2?zx=0?2?zy=06/27/202119§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解邊界條件：在側(cè)邊：方向余弦(l,m,n)=(l,m,0)面力：；前兩個方程滿足

8、；第三個力邊界條件：l?zx+m?zy=0在端面：方向余弦(l,m,n)=(0,0,-1)面力：滿足。6/27/202120§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解在x,y方向面力應(yīng)用圣維南原理6/27/202121§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解2.2按應(yīng)力函數(shù)?(x,y)求解設(shè)應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系為則應(yīng)力法第一個基本方程（平衡微分方程）自然滿足。6/27/202122§8-2按應(yīng)力函數(shù)求解常數(shù)C是什么？C和位移法公式中的系數(shù)有什么關(guān)系?將上式代入應(yīng)力法的其它兩個基本方程，得?2?=C（泊松方程）由應(yīng)力函數(shù)法和位移法