[工學(xué)]彈塑性力學(xué)第七章軸的扭轉(zhuǎn)

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1、第七章軸的扭轉(zhuǎn)圓軸的彈性扭轉(zhuǎn)非圓截面桿件的彈性扭轉(zhuǎn)圓軸的彈塑性扭轉(zhuǎn)非圓截面桿件的彈塑性扭轉(zhuǎn)§7－1圓軸的彈性扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分量：xyzoMtrxyoyxbtzxtzytRr應(yīng)力分量：xyoyxbtzxtzytRr平衡微分方程應(yīng)力邊界條件：側(cè)面：端面：FxFyM用應(yīng)力表示的相容方程：彈性解：2.應(yīng)變分量：2.位移分量：位移分量：位移條件：（1）坐標(biāo)原點(diǎn)固定：（2）原點(diǎn)的單元固定：xyzoMtr位移分量：（1）坐標(biāo)原點(diǎn)固定：（2）原點(diǎn)的單元固定：過原點(diǎn)沿z向的線段在xoz、zoy面內(nèi)不轉(zhuǎn)動(dòng)：過原點(diǎn)沿x向的線段在xoy面內(nèi)不轉(zhuǎn)動(dòng)

2、：剛體位移為零。單位長(zhǎng)度的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角平截面假設(shè)xyuvuqq'qrxyA§7－2非圓截面桿件的彈性扭轉(zhuǎn)一、應(yīng)力分量yxoyxbtzxtzyr平衡微分方程xyzoM用應(yīng)力表示的相容方程：用扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程。邊界條件：側(cè)面：xodydxNds側(cè)面邊界條件：多連域：端面：xyoyxqRrFxFyMdxdyAB二、應(yīng)變分量：三、位移分量：不計(jì)剛體位移q為單位長(zhǎng)度的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角w解題步驟：（1）確定扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)：（2）確定應(yīng)力函數(shù)中的待定常數(shù)：（3）確定應(yīng)力分量：（5）確定單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角及位移分量：wxy0AiAab

3、cdFxFy多連體：例題1：橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)oabxy解：滿足：M端面邊界條件：例題1：橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)解：應(yīng)力分量：oabxyM單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角：位移分量：扭桿的橫截面不再保持為平面，而翹曲為曲面。oabxyM例題2：空心圓軸的扭轉(zhuǎn)oabxy解：滿足：M端面邊界條件：四、彈性扭轉(zhuǎn)的薄膜比擬比擬：兩個(gè)概念完全不同的問題，如果數(shù)學(xué)表達(dá)式相同，可借助比較直觀的簡(jiǎn)單問題討論復(fù)雜的抽象的問題。薄膜在均勻壓力作用下的垂度與等截面扭桿問題的應(yīng)力函數(shù)在數(shù)學(xué)上是相似的，故可用比擬方法求扭轉(zhuǎn)問題的解答。（2）邊界形狀與扭桿橫截面相同。

4、（1）薄膜均勻張?jiān)谒竭吔缟?。?）給薄膜施加均勻壓力。q薄膜上的點(diǎn)產(chǎn)生垂度薄膜具有柔順性薄膜只受表面張力作用z(x,y)qz(x,y)公式推導(dǎo)：（1）建立坐標(biāo)系：xyoxzo（2）取微元體：dxdy薄膜單位長(zhǎng)度上的張力：TTdxTdyTdyTdxzz'abqTdyTdyabqz(x,y)xyoxzodxdy薄膜在周邊上的撓度：TdxTdyTdyTdxzz'abqTdyTdyab薄膜與支承面間體積的2倍：（1）薄膜的垂度對(duì)應(yīng)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，薄膜與支承面體積的2倍對(duì)應(yīng)扭矩。討論：（2）薄膜在y方向斜率對(duì)應(yīng)扭桿在同一點(diǎn)處x

5、方向的剪應(yīng)力。薄膜在x方向斜率對(duì)應(yīng)扭桿在同一點(diǎn)處y方向的剪應(yīng)力的大小。扭桿橫截面上某一點(diǎn)沿任意方向的剪應(yīng)力，等于薄膜對(duì)應(yīng)點(diǎn)處沿垂直方向的斜率。最大剪應(yīng)力對(duì)應(yīng)于薄膜斜率最大處。剪應(yīng)力t等于j的梯度的模，方向沿j=const曲線（薄膜中的等高線）的切線方向。j的等值線稱剪應(yīng)力跡線。最大剪應(yīng)力產(chǎn)生于j的梯度最大處（薄膜中等高線密度最大處）。（3）剪應(yīng)力環(huán)量定理：在扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的閉合曲線上，剪應(yīng)力沿其跡線的回路積分（剪應(yīng)力環(huán)量）與所圍面積成正比。Adst證明：（4）利用薄膜比擬不僅可用實(shí)驗(yàn)方法模擬扭轉(zhuǎn)問題，而且有助于尋找應(yīng)力

6、函數(shù)，分析扭桿內(nèi)的應(yīng)力分布情況，找出最大剪應(yīng)力的位置。例題3：矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)解：abxyzxa>>bxzz(y)應(yīng)力函數(shù)：abxyzxxzz(y)應(yīng)力函數(shù)：Mabxy應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力分量：M一般情況：1234510?0.1410.2080.22290.2630.2810.2910.3120.3330.3330.3120.2910.2820.2670.246五、薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)1.開口薄壁桿件biaiM第i個(gè)長(zhǎng)條：（薄膜比擬）2.閉口薄壁桿件外邊界：dsMxydhayxq無重剛性平板內(nèi)邊界：?。篈：桿壁中心線包圍的面積最

7、大剪應(yīng)力發(fā)生在壁厚最小處。剪應(yīng)力環(huán)量定理：dsMxydqhayx等厚薄壁桿件：S：桿壁中心線全長(zhǎng)?剪力流S1、S2、S3：剪應(yīng)力t1、t2、t3作用線全長(zhǎng)3.具有兩個(gè)內(nèi)邊界的閉口薄壁桿件A1d3A2d1qh2h1h3t1t2剪應(yīng)力環(huán)量定理：d2t3A1d3qh23.具有兩個(gè)內(nèi)邊界的閉口薄壁桿件A2d1d2h1h3t1t2t3解答：§7－4圓軸的彈塑性扭轉(zhuǎn)理想彈塑性材料：gt1.彈性極限扭矩xyzoMtrtsxyoMeR彈性解：屈服條件：2.彈塑性階段tsxyoMeRxyoMpRtsrp3.塑性極限扭矩xyoMpRts

8、rpxyoMlRts4.殘余應(yīng)力：當(dāng)扭矩加至Mp后再卸載至零，在圓軸中產(chǎn)生的應(yīng)力。Mp:卸去的應(yīng)力：（按彈性計(jì)算）殘余應(yīng)力：rtrRrp§7－4非圓截面桿件的彈塑性扭轉(zhuǎn)一、彈性解二、全塑性解塑性應(yīng)力函數(shù)平衡方程：屈服條件：Tresca：Mises：全塑性條件下構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的基本方程邊界條件：側(cè)面上無面力：端面上：討論：對(duì)于理想彈塑性材料