[工學]彈塑性力學第七章軸的扭轉

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1、第七章軸的扭轉圓軸的彈性扭轉非圓截面桿件的彈性扭轉圓軸的彈塑性扭轉非圓截面桿件的彈塑性扭轉§7－1圓軸的彈性扭轉應力分量：xyzoMtrxyoyxbtzxtzytRr應力分量：xyoyxbtzxtzytRr平衡微分方程應力邊界條件：側面：端面：FxFyM用應力表示的相容方程：彈性解：2.應變分量：2.位移分量：位移分量：位移條件：（1）坐標原點固定：（2）原點的單元固定：xyzoMtr位移分量：（1）坐標原點固定：（2）原點的單元固定：過原點沿z向的線段在xoz、zoy面內(nèi)不轉動：過原點沿x向的線段在xoy面內(nèi)不轉動

2、：剛體位移為零。單位長度的相對扭轉角平截面假設xyuvuqq'qrxyA§7－2非圓截面桿件的彈性扭轉一、應力分量yxoyxbtzxtzyr平衡微分方程xyzoM用應力表示的相容方程：用扭轉應力函數(shù)表示的相容方程。邊界條件：側面：xodydxNds側面邊界條件：多連域：端面：xyoyxqRrFxFyMdxdyAB二、應變分量：三、位移分量：不計剛體位移q為單位長度的相對扭轉角w解題步驟：（1）確定扭轉應力函數(shù)：（2）確定應力函數(shù)中的待定常數(shù)：（3）確定應力分量：（5）確定單位長度的扭轉角及位移分量：wxy0AiAab

3、cdFxFy多連體：例題1：橢圓截面桿的扭轉oabxy解：滿足：M端面邊界條件：例題1：橢圓截面桿的扭轉解：應力分量：oabxyM單位長度的扭轉角：位移分量：扭桿的橫截面不再保持為平面，而翹曲為曲面。oabxyM例題2：空心圓軸的扭轉oabxy解：滿足：M端面邊界條件：四、彈性扭轉的薄膜比擬比擬：兩個概念完全不同的問題，如果數(shù)學表達式相同，可借助比較直觀的簡單問題討論復雜的抽象的問題。薄膜在均勻壓力作用下的垂度與等截面扭桿問題的應力函數(shù)在數(shù)學上是相似的，故可用比擬方法求扭轉問題的解答。（2）邊界形狀與扭桿橫截面相同。

4、（1）薄膜均勻張在水平邊界上。（3）給薄膜施加均勻壓力。q薄膜上的點產(chǎn)生垂度薄膜具有柔順性薄膜只受表面張力作用z(x,y)qz(x,y)公式推導：（1）建立坐標系：xyoxzo（2）取微元體：dxdy薄膜單位長度上的張力：TTdxTdyTdyTdxzz'abqTdyTdyabqz(x,y)xyoxzodxdy薄膜在周邊上的撓度：TdxTdyTdyTdxzz'abqTdyTdyab薄膜與支承面間體積的2倍：（1）薄膜的垂度對應扭轉應力函數(shù)，薄膜與支承面體積的2倍對應扭矩。討論：（2）薄膜在y方向斜率對應扭桿在同一點處x

5、方向的剪應力。薄膜在x方向斜率對應扭桿在同一點處y方向的剪應力的大小。扭桿橫截面上某一點沿任意方向的剪應力，等于薄膜對應點處沿垂直方向的斜率。最大剪應力對應于薄膜斜率最大處。剪應力t等于j的梯度的模，方向沿j=const曲線（薄膜中的等高線）的切線方向。j的等值線稱剪應力跡線。最大剪應力產(chǎn)生于j的梯度最大處（薄膜中等高線密度最大處）。（3）剪應力環(huán)量定理：在扭轉應力函數(shù)的閉合曲線上，剪應力沿其跡線的回路積分（剪應力環(huán)量）與所圍面積成正比。Adst證明：（4）利用薄膜比擬不僅可用實驗方法模擬扭轉問題，而且有助于尋找應力

6、函數(shù)，分析扭桿內(nèi)的應力分布情況，找出最大剪應力的位置。例題3：矩形截面桿的扭轉解：abxyzxa>>bxzz(y)應力函數(shù)：abxyzxxzz(y)應力函數(shù)：Mabxy應力函數(shù)：應力分量：M一般情況：1234510?0.1410.2080.22290.2630.2810.2910.3120.3330.3330.3120.2910.2820.2670.246五、薄壁桿件的扭轉1.開口薄壁桿件biaiM第i個長條：（薄膜比擬）2.閉口薄壁桿件外邊界：dsMxydhayxq無重剛性平板內(nèi)邊界：?。篈：桿壁中心線包圍的面積最

7、大剪應力發(fā)生在壁厚最小處。剪應力環(huán)量定理：dsMxydqhayx等厚薄壁桿件：S：桿壁中心線全長?剪力流S1、S2、S3：剪應力t1、t2、t3作用線全長3.具有兩個內(nèi)邊界的閉口薄壁桿件A1d3A2d1qh2h1h3t1t2剪應力環(huán)量定理：d2t3A1d3qh23.具有兩個內(nèi)邊界的閉口薄壁桿件A2d1d2h1h3t1t2t3解答：§7－4圓軸的彈塑性扭轉理想彈塑性材料：gt1.彈性極限扭矩xyzoMtrtsxyoMeR彈性解：屈服條件：2.彈塑性階段tsxyoMeRxyoMpRtsrp3.塑性極限扭矩xyoMpRts

8、rpxyoMlRts4.殘余應力：當扭矩加至Mp后再卸載至零，在圓軸中產(chǎn)生的應力。Mp:卸去的應力：（按彈性計算）殘余應力：rtrRrp§7－4非圓截面桿件的彈塑性扭轉一、彈性解二、全塑性解塑性應力函數(shù)平衡方程：屈服條件：Tresca：Mises：全塑性條件下構件內(nèi)應力函數(shù)應滿足的基本方程邊界條件：側面上無面力：端面上：討論：對于理想彈塑性材料