matlab pde工具箱有限元法求解偏微分方程

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1、在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中,有很多問題都可以歸結(jié)為偏微分方程問題。在物理專業(yè)的力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)、光學(xué)、近代物理課程中都可遇見偏微分方程。偏微分方程,再加上邊界條件、初始條件構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型,只有在很特殊情況下才可求得解析解。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,采用數(shù)值計(jì)算方法,可以得到其數(shù)值解。偏微分方程基本形式而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。PDE工具箱PDE工具箱的使用步驟體現(xiàn)了有限元法求解問題的基本思路,包括如下基本步驟:1)建立幾何模型2)定義邊界條件3)定義PDE類型和PDE系數(shù)4)三角形網(wǎng)格劃分5)有限元求解6)解的圖形

2、表達(dá)以上步驟充分體現(xiàn)在PDE工具箱的菜單欄和工具欄順序上,如下具體實(shí)現(xiàn)如下。打開工具箱輸入pdetool可以打開偏微分方程求解工具箱,如下首先需要選擇應(yīng)用模式,工具箱根據(jù)實(shí)際問題的不同提供了很多應(yīng)用模式,用戶可以基于適當(dāng)?shù)哪J竭M(jìn)行建模和分析。在Options菜單的Application菜單項(xiàng)下可以做選擇,如下或者直接在工具欄上選擇,如下列表框中各應(yīng)用模式的意義為:①GenericScalar:一般標(biāo)量模式(為默認(rèn)選項(xiàng))。②GenericSystem:一般系統(tǒng)模式。③StructuralMech.,PlaneStress:

3、結(jié)構(gòu)力學(xué)平面應(yīng)力。④StructuralMech.,PlaneStrain:結(jié)構(gòu)力學(xué)平面應(yīng)變。⑤Electrostatics:靜電學(xué)。⑥Magnetostatics:電磁學(xué)。⑦AcPowerElectromagnetics:交流電電磁學(xué)。⑧ConductiveMediaDC:直流導(dǎo)電介質(zhì)。⑨HeatTranfer:熱傳導(dǎo)。⑩Diffusion:擴(kuò)散??梢愿鶕?jù)自己的具體問題做相應(yīng)的選擇,這里要求解偏微分方程,故使用默認(rèn)值。此外,對(duì)于其他具體的工程應(yīng)用模式,此工具箱已經(jīng)發(fā)展到了ComsolMultiphysics軟件,它提供

4、了更強(qiáng)大的建模、求解功能。另外,可以在菜單Options下做一些全局的設(shè)置,如下lGrid:顯示網(wǎng)格lGridSpacing…:控制網(wǎng)格的顯示位置lSnap:建模時(shí)捕捉網(wǎng)格節(jié)點(diǎn),建模時(shí)可以打開lAxesLimits…:設(shè)置坐標(biāo)系范圍lAxesEqual:同Matlab的命令axesequal命令建立幾何模型使用菜單Draw的命令或使用工具箱命令可以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單幾何模型的建立,如下各項(xiàng)代表的意義分別為l繪制矩形或方形;l繪制同心矩形或方形;l繪制橢圓或圓;l繪制同心橢圓或圓;l繪制多義線。這里只繪制一個(gè)圓如下定義邊界條件選擇B

5、oundary菜單下的SpecifyBoundaryConditions…,如下定義PDE類型和PDE系數(shù)選擇PDE菜單下的PDESpecifications…,如下三角形網(wǎng)格劃分選擇Mesh菜單下的InitializeMesh初始化三角形網(wǎng)格,再選擇RefineMesh改進(jìn)初始網(wǎng)格并細(xì)化網(wǎng)格,如下初始化網(wǎng)格細(xì)化網(wǎng)格另外還可以進(jìn)一步選擇JiggleMesh微調(diào)網(wǎng)格。最后可以選擇DisplayTriangleQuality顯示三角形網(wǎng)格的質(zhì)量圖,其中1表示質(zhì)量最好,0表示最差,如下有限元求解選擇Solve菜單下的Solve

6、PDE選項(xiàng)進(jìn)行PDE問題的求解,如下解的圖形表達(dá)選擇Plot菜單下的Parameters…可以設(shè)置顯示的效果,如下顯示結(jié)果如下比較數(shù)值解與精確解的誤差:可見數(shù)值解的精度是很高的。

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