matlab pde工具箱有限元法求解偏微分方程

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1、在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中，有很多問題都可以歸結(jié)為偏微分方程問題。在物理專業(yè)的力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)、光學(xué)、近代物理課程中都可遇見偏微分方程。偏微分方程，再加上邊界條件、初始條件構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型，只有在很特殊情況下才可求得解析解。隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，采用數(shù)值計算方法，可以得到其數(shù)值解。偏微分方程基本形式而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。PDE工具箱PDE工具箱的使用步驟體現(xiàn)了有限元法求解問題的基本思路，包括如下基本步驟：1)建立幾何模型2)定義邊界條件3)定義PDE類型和PDE系數(shù)4)三角形網(wǎng)格劃分5)有限元求解6)解的圖形

2、表達(dá)以上步驟充分體現(xiàn)在PDE工具箱的菜單欄和工具欄順序上，如下具體實現(xiàn)如下。打開工具箱輸入pdetool可以打開偏微分方程求解工具箱，如下首先需要選擇應(yīng)用模式，工具箱根據(jù)實際問題的不同提供了很多應(yīng)用模式，用戶可以基于適當(dāng)?shù)哪Ｊ竭M(jìn)行建模和分析。在Options菜單的Application菜單項下可以做選擇，如下或者直接在工具欄上選擇，如下列表框中各應(yīng)用模式的意義為：①GenericScalar：一般標(biāo)量模式（為默認(rèn)選項）。②GenericSystem：一般系統(tǒng)模式。③StructuralMech.，PlaneStress：

3、結(jié)構(gòu)力學(xué)平面應(yīng)力。④StructuralMech.，PlaneStrain：結(jié)構(gòu)力學(xué)平面應(yīng)變。⑤Electrostatics：靜電學(xué)。⑥Magnetostatics：電磁學(xué)。⑦AcPowerElectromagnetics：交流電電磁學(xué)。⑧ConductiveMediaDC：直流導(dǎo)電介質(zhì)。⑨HeatTranfer：熱傳導(dǎo)。⑩Diffusion：擴(kuò)散。可以根據(jù)自己的具體問題做相應(yīng)的選擇，這里要求解偏微分方程，故使用默認(rèn)值。此外，對于其他具體的工程應(yīng)用模式，此工具箱已經(jīng)發(fā)展到了ComsolMultiphysics軟件，它提供

4、了更強(qiáng)大的建模、求解功能。另外，可以在菜單Options下做一些全局的設(shè)置，如下lGrid：顯示網(wǎng)格lGridSpacing…：控制網(wǎng)格的顯示位置lSnap：建模時捕捉網(wǎng)格節(jié)點，建模時可以打開lAxesLimits…：設(shè)置坐標(biāo)系范圍lAxesEqual：同Matlab的命令axesequal命令建立幾何模型使用菜單Draw的命令或使用工具箱命令可以實現(xiàn)簡單幾何模型的建立，如下各項代表的意義分別為l繪制矩形或方形；l繪制同心矩形或方形；l繪制橢圓或圓；l繪制同心橢圓或圓；l繪制多義線。這里只繪制一個圓如下定義邊界條件選擇B

5、oundary菜單下的SpecifyBoundaryConditions…，如下定義PDE類型和PDE系數(shù)選擇PDE菜單下的PDESpecifications…，如下三角形網(wǎng)格劃分選擇Mesh菜單下的InitializeMesh初始化三角形網(wǎng)格，再選擇RefineMesh改進(jìn)初始網(wǎng)格并細(xì)化網(wǎng)格，如下初始化網(wǎng)格細(xì)化網(wǎng)格另外還可以進(jìn)一步選擇JiggleMesh微調(diào)網(wǎng)格。最后可以選擇DisplayTriangleQuality顯示三角形網(wǎng)格的質(zhì)量圖，其中1表示質(zhì)量最好，0表示最差，如下有限元求解選擇Solve菜單下的Solve

6、PDE選項進(jìn)行PDE問題的求解，如下解的圖形表達(dá)選擇Plot菜單下的Parameters…可以設(shè)置顯示的效果，如下顯示結(jié)果如下比較數(shù)值解與精確解的誤差：可見數(shù)值解的精度是很高的。