授課章節(jié)（5號宋字體）

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1、《數(shù)學分析（1，2，3）》教案§1第一類曲線積分的計算設函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為則。特別地，如果曲線為一條光滑的平面曲線，它的方程為，，那么有。例：設是半圓周,。求。例：設是曲線上從點到點的一段，計算第一類曲線積分。例：計算積分，其中是球面被平面截得的圓周。例：求，此處為連接三點，，的直線段?！?第一類曲面積分的計算一曲面的面積（1）設有一曲面塊，它的方程為。具有對和的連續(xù)偏導數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則該曲面塊的面積為。（2）若曲面的方程為21-8《數(shù)學分析（1，2，3）》教案令，，，則該曲面塊的面積為。例：求球面

2、含在柱面內(nèi)部的面積。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。二化第一類曲面積分為二重積分（1）設函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。曲面的方程為。具有對和的連續(xù)偏導數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則。（2）設函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。若曲面的方程為令，，，則。例：計算，是球面，。例：計算，其中為螺旋面的一部分：21-8《數(shù)學分析（1，2，3）》教案。注：第一類曲面積分通過一個二重積分來定義，這就是為什么在第一類曲面積分中用“二重積分符“的原因。例：I=，是球面，球心在原點，半徑為?！?第二類曲線積分一變力做功和第二類曲線積分的定義1.力場沿平面曲線

3、從點A到點B所作的功。先用微元法，再用定義積分的方法討論這一問題，得。2.第二型曲線積分的定義定義1設是一條光滑或逐段光滑曲線，且設是定義在上的有界函數(shù)，將沿確定方向從起點開始用分點分成個有向弧段，直至終點。且設。在每一弧段上任取一點，作和式：。其中為起點，為終點。設，這里表示有向線段的長度。若當時，和有極限，且它與的分法無關，也與點的選擇無關，則稱為沿曲線按所述方向的第二類曲線積分，記作或。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為。注：第二類曲線積分是與沿曲線的方向有關的。這是第二類曲線積分的一個很重要性質，也是它區(qū)別于第一類曲線積分的一個特

4、征。注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環(huán)行時，如閉路所圍成的區(qū)域靠近這人的部分總在他的左方，則這個方向就算作正向，否則就算作負向。21-8《數(shù)學分析（1，2，3）》教案這時只要方向不變，曲線積分的值是與起點的位置無關的。二第二類曲線積分的計算設曲線自身不相交，其參數(shù)方程為：。且設是光滑的。設當參數(shù)從調(diào)地增加到時，曲線從點按一定方向連續(xù)地變到點。設函數(shù)定義在曲線上，且設它在上連續(xù)。則。（*）注：（*）積分下限必須對應積分所沿曲線的起點，上限必須對應終點。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為例：計算積分,L的兩個端點為A(1,1

5、),B(2,3).積分從點A到點B或閉合,路徑為（1）直線段AB；（2）拋物線；（3）折線閉合路徑A(1,1)D(2,1)B(2,3)A(1,1)。.例：計算積分,這里L:（1）沿拋物線從點O(0,0)到點B(1,2)；（2）沿直線從點O(0,0)到點B(1,2)；（3）沿折線封閉路徑O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).例：計算第二型曲線積分I=,其中L是螺旋線，，從到的一段。三兩類曲線積分的聯(lián)系第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯(lián)系。兩者之間的聯(lián)系式為例：證明：對于曲線積分的估計式為21-8《

6、數(shù)學分析（1，2，3）》教案。利用這個不等式估計：并證明。例：設平面區(qū)域有一條連續(xù)閉曲線所圍成，區(qū)域的面積設為，推導用曲線積分計算面積的公式為：?！?第二類曲面積分一曲面的側的概念1．單側曲面與雙側曲面在實際生活中碰到的都是雙側曲面，至于單側曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個典型例子。2．曲面的上側和下側，外側和內(nèi)側雙側曲面的定向:曲面的上、下側，左、右側，前、后側.設法向量為,則上側法線方向對應第三個分量,即選“+”號時，應有，亦即法線方向與軸正向成銳角.類似確定其余各側的法線方向.封閉曲面分內(nèi)側和外側.二第二類曲面積分的定義先討論由顯式方程表示

7、的無重點的光滑曲面,并設在平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線所圍成的區(qū)域。設選定了曲面的一側，從而也確定了它的定向?，F(xiàn)在將有向曲面以任何方法分割為小塊。設為在平面上的投影，從而也得到區(qū)域的一個相應分割。如果取的是上側，這時所有算作正的。如取下側，這時所有算作負的。設有界函數(shù)定義在上，在每一小塊任取一點，作和式其中表示的面積。由上述所見，是帶有符號的，它們的符號是由所選的側來決定的。設為21-8《數(shù)學分析（1，2，3）》教案的致敬，記。若當時，有確定的極限，且與曲面分割的方法無關，也點的選擇無關，則稱為沿曲面的所選定的一側上的第二類曲面積分，記為。注：有時也會碰

8、到幾個積分連在一起的情形，例如：。注：如果沿曲面的另