基于層次分析法的模糊綜合評(píng)價(jià)

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校園環(huán)境質(zhì)量的模糊綜合評(píng)價(jià)方法信息與計(jì)算科學(xué)2003級(jí)馬文彬指導(dǎo)教師杜世平副教授摘要：本文應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)理論，把模糊綜合評(píng)價(jià)方法具體應(yīng)用到校園環(huán)境質(zhì)量綜合評(píng)價(jià)研究中，結(jié)合校園的實(shí)際情況將環(huán)境評(píng)價(jià)系統(tǒng)根據(jù)需要分成若干個(gè)指標(biāo)，建立了因子集、評(píng)價(jià)集、隸屬函數(shù)和權(quán)重集，實(shí)現(xiàn)對(duì)校園環(huán)境的質(zhì)量等級(jí)綜合評(píng)判。采用層次分析法計(jì)算評(píng)價(jià)的權(quán)重集，并對(duì)取大取小算法和評(píng)價(jià)結(jié)果的最大隸屬度原則進(jìn)行了改進(jìn)，取得較好的效果。實(shí)例表明：模糊綜合評(píng)價(jià)方法可操作性強(qiáng)、效果較好，可在一般環(huán)境的質(zhì)量評(píng)價(jià)中廣泛應(yīng)用。關(guān)鍵詞：校園環(huán)境質(zhì)量，模糊綜合評(píng)價(jià)，層次分析法，權(quán)重FuzzyComprehensiveEvaluationMethodfortheEnvironmentQualityofuniversityCampusMAWen-binInformationandComputationalScience,Grade2003DirectedbyDuShi-ping(AssociateProf)Abstract:Inthispaper,basedonfuzzymathematicstheory,thefuzzycomprehensiveevaluationisappliedintheenvironmentqualityevaluationofuniversitycampus,combiningtheactualsituationlisttoevaluatethegenerallevelofuniversitycampusbyfuzzycomprehensiveevaluation.Bysettingupthefactorsets,theevaluationsets,subjectionfunctionsandtheweightingsets.ImplementationoftheCampusEnvironmentQualityLevelcomprehensiveevaluation.TheevaluationoftheweightingsetsaremadebyAHP.Thechoosingbigorsmallalgorithmandthemaximalsubjectiondegreeoftheevaluationresultisimproved,andtheeffectisverygood.Theapplyingexampleindicates:theresearchedmethodisfeasibleandeffective,itcanbeusedwidelyintheenvironmentqualityassessment.Keywords:Environmentqualityofuniversitycampus，F(xiàn)uzzyComprehensiveEvaluation，AnalyticalHierarchyProcess，Weighting1引言13 模糊綜合評(píng)價(jià)是以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)。應(yīng)用模糊關(guān)系合成的原理，將一些邊界不清，不易定量的因素定量化，進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的一種方法[1]。在校園環(huán)境質(zhì)量綜合評(píng)價(jià)中，涉及到大量的復(fù)雜現(xiàn)象和多種因素的相互作用，而且，評(píng)價(jià)中存在大量的模糊現(xiàn)象和模糊概念[2,3,4]。因此，在綜合評(píng)價(jià)時(shí)，常用到模糊綜合評(píng)價(jià)的方法進(jìn)行定量化處理[5,6]，評(píng)價(jià)出校園環(huán)境的質(zhì)量等級(jí)，取得了良好的效果。但權(quán)重的確定需要專(zhuān)家的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，具有一定的缺陷，為此，本文采用層次分析法來(lái)確定各指標(biāo)的權(quán)系數(shù)[7]。使其更有合理性，更符合客觀實(shí)際并易于定量表示，從而提高模糊綜合評(píng)判結(jié)果的準(zhǔn)確性。此外，模糊綜合評(píng)價(jià)中常取的取大取小算法，信息丟失很多，常常出現(xiàn)結(jié)果不易分辨(即模型失效)的情況[8]。所以，本文提出了針對(duì)模糊綜合評(píng)價(jià)的改進(jìn)模型。另外，本文在對(duì)模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行分析時(shí)，對(duì)常用的最大隸屬度原則方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了加權(quán)平均原則方法。2模型的建立2.1模糊綜合評(píng)價(jià)方法和步驟2.1.1模糊綜合評(píng)價(jià)方法模糊綜合評(píng)價(jià)是通過(guò)構(gòu)造等級(jí)模糊子集把反映被評(píng)事物的模糊指標(biāo)進(jìn)行量化(即確定隸屬度)，然后利用模糊變換原理對(duì)各指標(biāo)綜合[9]。2.1.2評(píng)價(jià)步驟：2.1.2.1確定評(píng)價(jià)對(duì)象的因素論域個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，。2.1.2.2確定評(píng)語(yǔ)等級(jí)論域，即等級(jí)集合。每一個(gè)等級(jí)可對(duì)應(yīng)一個(gè)模糊子集。2.1.2.3建立模糊關(guān)系矩陣在構(gòu)造了等級(jí)模糊子集后，要逐個(gè)對(duì)被評(píng)事物從每個(gè)因素上進(jìn)行量化，即確定從單因素來(lái)看被評(píng)事物對(duì)等級(jí)模糊子集的隸屬度，進(jìn)而得到模糊關(guān)系矩陣：13 矩陣中第行第列元素，表示某個(gè)被評(píng)事物從因素來(lái)看對(duì)等級(jí)模糊子集的隸屬度。一個(gè)被評(píng)事物在某個(gè)因素方面的表現(xiàn)，是通過(guò)模糊向量來(lái)刻畫(huà)的，而在其他評(píng)價(jià)方法中多是由一個(gè)指標(biāo)實(shí)際值來(lái)刻畫(huà)的，因此，從這個(gè)角度講模糊綜合評(píng)價(jià)要求更多的信息[10]。2.1.2.4確定評(píng)價(jià)因素的權(quán)向量在模糊綜合評(píng)價(jià)中，確定評(píng)價(jià)因素的權(quán)向量：。權(quán)向量中的元素本質(zhì)上是因素對(duì)模糊子的隸屬度。本文使用層次分析法來(lái)確定評(píng)價(jià)指標(biāo)間的相對(duì)重要性次序。從而確定權(quán)系數(shù)，并且在合成之前歸一化。即，，2.1.2.5合成模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果向量利用合適的算子將與各被評(píng)事物的進(jìn)行合成，得到各被評(píng)事物的模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果向量。即：其中是由與的第列運(yùn)算得到的，它表示被評(píng)事物從整體上看對(duì)等級(jí)模糊子集的隸屬程度。2.1.2.6對(duì)模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果向量進(jìn)行分析13 實(shí)際中最常用的方法是最大隸屬度原則，但在某些情況下使用會(huì)有些很勉強(qiáng)，損失信息很多，甚至得出不合理的評(píng)價(jià)結(jié)果。提出使用加權(quán)平均求隸屬等級(jí)的方法，對(duì)于多個(gè)被評(píng)事物并可以依據(jù)其等級(jí)位置進(jìn)行排序。2.2層次分析法確定權(quán)重2.2.1層次分析法求權(quán)重是綜合評(píng)價(jià)的關(guān)鍵。層次分析法是一種行之有效的確定權(quán)系數(shù)的有效方法。特別適宜于那些難以用定量指標(biāo)進(jìn)行分析得復(fù)雜問(wèn)題[11]。它把復(fù)雜問(wèn)題中的各因素劃分為互相聯(lián)系的有序?qū)邮怪畻l理化，根據(jù)對(duì)客觀實(shí)際的模糊判斷，就每一層次的相對(duì)重要性給出定量的表示，再利用數(shù)學(xué)方法確定全部元素相對(duì)重要性次序的權(quán)系數(shù)。2.2.2層次分析法的步驟2.2.2.1確定目標(biāo)和評(píng)價(jià)因素個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，。2.2.2.2構(gòu)造判斷矩陣判斷矩陣元素的值反映了人們對(duì)各元素相對(duì)重要性的認(rèn)識(shí)，一般采用1—9及其倒數(shù)的標(biāo)度方法。但當(dāng)相互比較因素的重要性能夠用具有實(shí)際意義的比值說(shuō)明時(shí)，判斷矩陣相應(yīng)元素的值則取這個(gè)比值。即得到判斷矩陣。2.2.2.3計(jì)算判斷矩陣用Mathematica軟件計(jì)算判斷矩陣的最大特征根，及其對(duì)應(yīng)的特征向量，此特征向量就是各評(píng)價(jià)因素的重要性排序，也即是權(quán)系數(shù)的分配。2.2.2.4一致性檢驗(yàn)為進(jìn)行判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)，需計(jì)算一致性指標(biāo)，平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。它是用隨機(jī)的方法構(gòu)造500個(gè)樣本矩陣，構(gòu)造方法是隨機(jī)地用標(biāo)度以及它們的倒數(shù)填滿(mǎn)樣本矩陣的上三角各項(xiàng)，主對(duì)角線各項(xiàng)數(shù)值始終為1，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)置位置項(xiàng)則采用上述對(duì)應(yīng)位置隨機(jī)數(shù)的倒數(shù)。然后對(duì)各個(gè)隨機(jī)樣本矩陣計(jì)算其一致性指標(biāo)值，對(duì)這些13 值平均即得到平均隨機(jī)一致性指標(biāo)值[12]。當(dāng)隨機(jī)一致性比率時(shí)，認(rèn)為層次分析排序的結(jié)果有滿(mǎn)意的一致性，即權(quán)系數(shù)的分配是合理的；否則，要調(diào)整判斷矩陣的元素取值，重新分配權(quán)系數(shù)的值。3模型的求解3.1校園環(huán)境的多級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)及其抽樣數(shù)據(jù)在評(píng)價(jià)指標(biāo)間的重要性程度有差別的情況下。模糊數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)方法很實(shí)用。多級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)的方法有兩種：即一步法(一次性綜合評(píng)價(jià))和多步法(即逐層進(jìn)行模糊評(píng)價(jià))。本文采用多步法[13]。本文以四川農(nóng)業(yè)大學(xué)的校園環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)為例，將四川農(nóng)業(yè)大學(xué)各院各專(zhuān)業(yè)的本科學(xué)生及在校教職員工為調(diào)查對(duì)象，采用自填式問(wèn)卷法收集數(shù)據(jù)。將涉及校園環(huán)境質(zhì)量的有關(guān)評(píng)價(jià)指標(biāo)設(shè)計(jì)成問(wèn)卷，然后采用分層抽樣方法，將問(wèn)卷隨機(jī)發(fā)放給被調(diào)查人中，讓其獨(dú)立完成調(diào)查問(wèn)卷，并對(duì)每份問(wèn)卷進(jìn)行有效性審查。共發(fā)出問(wèn)卷370份，回收370份，回收率100%，有效問(wèn)卷365份，有效率為98.6%。被調(diào)查的學(xué)生有女生也有男生，來(lái)自不同層次，不同年齡階段。問(wèn)卷設(shè)計(jì)成李克特量表的格式，所制定的環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)體系共由6個(gè)一級(jí)指標(biāo)(含總印象)與19個(gè)二級(jí)指標(biāo)構(gòu)成，指標(biāo)的測(cè)量采用李克特量表的方法，利用語(yǔ)義學(xué)標(biāo)度分為4個(gè)測(cè)量等級(jí)：好、良好、一般、差。為了便于計(jì)算，我們將主觀評(píng)價(jià)的語(yǔ)義學(xué)標(biāo)度進(jìn)行量化，并依次賦值為4、3、2及1。主觀測(cè)量是用四級(jí)語(yǔ)義學(xué)標(biāo)度。所設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)定量標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表1。表1評(píng)價(jià)定量分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)Table1Quantitativeevaluationofgradingstandards評(píng)價(jià)值評(píng)語(yǔ)定級(jí)好良好一般差借助抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，說(shuō)明基于層次分析法的模糊綜合評(píng)價(jià)在該方面的應(yīng)用。13 確定評(píng)價(jià)對(duì)象的因素集即確定評(píng)價(jià)指標(biāo)?，F(xiàn)從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：從校園總體環(huán)境品質(zhì)、綠化和景觀、交通體系、建筑品質(zhì)、照明設(shè)施、科研園區(qū)和大型公共設(shè)施考慮設(shè)定6個(gè)一級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)以及19個(gè)二級(jí)環(huán)境評(píng)價(jià)指標(biāo)構(gòu)成體系[14]。所構(gòu)成的環(huán)境指標(biāo)體系見(jiàn)表2。表2校園環(huán)境質(zhì)量?jī)杉?jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)及其權(quán)重Table2Twogradesofevaluationfactorsofcampusenvironmentqualityandweighting綜合指標(biāo)評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重校園總體環(huán)境品質(zhì)（0.202）a1校園的環(huán)境氣氛a2校園的總體布局和分區(qū)a3校園環(huán)境的吸引力a4校園的安靜程度a5校園的大氣質(zhì)量a6校園的衛(wèi)生狀況0.1830.1280.2100.1740.1990.106綠化和景觀（0.156）b1校園中的景觀度b2校園綠化的總體印象b3校園的標(biāo)志物建筑及廣場(chǎng)區(qū)域的印象等b4校園的周邊環(huán)境0.2130.3210.2850.181校園內(nèi)的交通體系（0.165）c校內(nèi)交通體系的總體情況評(píng)價(jià)1建筑品質(zhì)（0.202）d1教學(xué)建筑的美觀度d2教學(xué)建筑的使用性d3食堂、宿舍的適用性d4文娛活動(dòng)場(chǎng)所得適用性0.2170.2850.2460.25213 照明設(shè)施的評(píng)價(jià)（0.109）e1路燈布局的美觀度和實(shí)用性、燈具配置的合理性e2校園大型建筑物的照明用電情況及能源消耗0.4740.526科研園區(qū)和大型公共設(shè)施(0.166)f1讀書(shū)公園的基本建設(shè)的合理性f2農(nóng)場(chǎng)科研園區(qū)的布局安排的合理性及實(shí)用性0.4290.571(表中權(quán)重的分配由層次分析法求出)3.2指標(biāo)權(quán)重求解的層次分析法步驟3.2.1確定評(píng)價(jià)對(duì)象集=四川農(nóng)業(yè)大學(xué)校園環(huán)境質(zhì)量。3.2.2構(gòu)造評(píng)價(jià)因子集3.2.3確定評(píng)語(yǔ)等級(jí)論域確定評(píng)語(yǔ)等級(jí)論域，即建立評(píng)價(jià)集。3.2.4一級(jí)指標(biāo)權(quán)重的計(jì)算6個(gè)一級(jí)指標(biāo)因子權(quán)重，我們采用層次分析的方法求出指標(biāo)權(quán)重。構(gòu)造判斷矩陣即：13 用Mathematica軟件[15]計(jì)算判斷矩陣的最大特征根得。為進(jìn)行判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)，需計(jì)算一致性指標(biāo)：平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。隨機(jī)一致性比率：因此認(rèn)為層次分析排序的結(jié)果有滿(mǎn)意的一致性，即權(quán)系數(shù)的分配是非常合理的。其對(duì)應(yīng)的特征向量為：再作歸一化處理得：3.2.5計(jì)算二級(jí)指標(biāo)權(quán)重同理，我們?nèi)圆捎脤哟畏治龅姆椒▉?lái)求出指標(biāo)權(quán)重。分別對(duì)各個(gè)二級(jí)指標(biāo)構(gòu)造其各自的判斷矩陣，再用Mathematica軟件計(jì)算最大特征根和一致性檢驗(yàn)。得出合理的權(quán)系數(shù)。校園總體環(huán)境品質(zhì)五個(gè)指標(biāo)的權(quán)重，其特征向量為歸一化得：綠化和景觀指標(biāo)的權(quán)重：建筑品質(zhì)指標(biāo)的權(quán)重：照明設(shè)施的評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重：科研園區(qū)和大型公共設(shè)施指標(biāo)的權(quán)重：3.3校園環(huán)境的多級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)13 3.3.1校園環(huán)境的加權(quán)平均模糊合成綜合評(píng)價(jià)利用加權(quán)平均模糊合成算子將與足合成得到模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果向量。模糊綜合評(píng)價(jià)中常用的取大取小算法，在因素較多時(shí)，每一因素所分得的權(quán)重常常很小。在模糊合成運(yùn)算中，信息丟失很多，常導(dǎo)致結(jié)果不易分辨和不合理(即模型失效)的情況[16]。所以，針對(duì)上述問(wèn)題，這里采用加權(quán)平均型的模糊合成算子。計(jì)算公式為：式中，，，分別為隸屬于第等級(jí)的隸屬度、第個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重和第個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)隸屬于第等級(jí)的隸屬度。3.3.2多級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果向量將來(lái)源于抽樣調(diào)查的四川農(nóng)業(yè)大學(xué)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)代入建立的模型中，計(jì)算各級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)的向量。3.3.2.1總體環(huán)境品質(zhì)的評(píng)價(jià)向量歸一化后的綜合評(píng)價(jià)向量：3.3.2.2綠化和景觀的評(píng)價(jià)向量13 歸一化得3.3.2.3校園內(nèi)的交通體系評(píng)價(jià)向量3.3.2.4建筑品質(zhì)評(píng)價(jià)向量歸一化得3.3.2.5照明設(shè)施的評(píng)價(jià)向量歸一化得3.3.2.6科研園區(qū)和大型公共設(shè)施評(píng)價(jià)向量13 歸一化得3.3.2.7綜合評(píng)價(jià)向量歸一化得3.3.2.8對(duì)綜合評(píng)分值進(jìn)行等級(jí)評(píng)定由上述計(jì)算可知，對(duì)照表1的評(píng)價(jià)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)可得四川農(nóng)業(yè)大學(xué)的“校園總體環(huán)境品質(zhì)”評(píng)價(jià)指標(biāo)的評(píng)價(jià)結(jié)果為“良好”屬于級(jí)，其它5個(gè)指標(biāo)的評(píng)價(jià)結(jié)果都均為“一般”，屬于級(jí)。按照各個(gè)指標(biāo)的評(píng)分等級(jí)的大小可以對(duì)其排序，其中“綠化和景觀”、“科研園區(qū)和大型公共設(shè)施”的評(píng)價(jià)要比其它指標(biāo)都要低一點(diǎn)。而對(duì)總體的綜合評(píng)判分值為：說(shuō)明四川農(nóng)業(yè)大學(xué)的校園總體質(zhì)量為“良好”，屬于級(jí)。13 實(shí)際中最常用的方法是最大隸屬度原則，但此方法的使用是有條件的，存在有效性問(wèn)題，可能會(huì)得出不合理的評(píng)價(jià)結(jié)果。根據(jù)此問(wèn)題提出加權(quán)平均原則求隸屬等級(jí)的方法，對(duì)于采用加權(quán)平均原則對(duì)上述各級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)的評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行分析。此方法得出的結(jié)果與最大隸屬度原則方法得到的結(jié)果有點(diǎn)出入，但此結(jié)果較符合實(shí)際情況。4結(jié)論在應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)對(duì)校園環(huán)境質(zhì)量進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)時(shí)，由于評(píng)價(jià)指標(biāo)較多，常用的取大取小算法，常常出現(xiàn)結(jié)果不易分辨的情況。本文采用加權(quán)平均型進(jìn)行評(píng)價(jià)，取得了較好的效果。在對(duì)模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行分析時(shí)，對(duì)常用的最大隸屬度原則方法存在有效性的問(wèn)題。本文采用加權(quán)平均原則方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，并可對(duì)多指標(biāo)進(jìn)行比較排序，結(jié)果令人滿(mǎn)意。對(duì)于權(quán)重的確定，目前大多由專(zhuān)家憑經(jīng)驗(yàn)給出，人為干擾較為嚴(yán)重，導(dǎo)致評(píng)判結(jié)果的出入。本文在模糊綜合評(píng)價(jià)中采用層次分析法來(lái)確定權(quán)重。此方法具有較強(qiáng)的邏輯性、實(shí)用性和系統(tǒng)性。并能準(zhǔn)確地得出各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)系數(shù)?；趯哟畏治龇ǖ哪：C合評(píng)價(jià)在校園環(huán)境質(zhì)量綜合評(píng)價(jià)與排序研究中得以應(yīng)用，效果較好。該模型建立符合實(shí)際情形，有利于促進(jìn)高校對(duì)其資源的利用并對(duì)已有資源進(jìn)行最優(yōu)整合，從而促進(jìn)高校整體水平和規(guī)模的發(fā)展；模型求解簡(jiǎn)便，有較好的應(yīng)用前景和推廣價(jià)值。參考文獻(xiàn)[1]胡永宏，賀恩輝.綜合評(píng)價(jià)方法[M].北京：科學(xué)出版社，2000：167-188[2]張征.環(huán)境評(píng)價(jià)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006：155-191[3]李祚泳.環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)原理與方法[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2004：69-133[4]楊綸標(biāo).模糊數(shù)學(xué)原理及應(yīng)用[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2000：67-80[5]謝季堅(jiān)，劉承平.模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，2000：205-211[6]張林.高校環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)體系的分析與研究[J].甘肅科技，2006，22(12)：120-121[7]葛軍，葛倫應(yīng).層次分析法確定水質(zhì)指標(biāo)權(quán)重[J].當(dāng)代建筑，2003，3(1)：22-23[8]李安貴,張志宏,孟艷等.模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].武漢：冶金工業(yè)出版社，2003：144-146[9]王新洲.模糊空間信息處理[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2003：130-13113 [10]李士勇.工程模糊數(shù)學(xué)及應(yīng)用[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004：101-108[11]佟春生.系統(tǒng)工程的理論與方法概論[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2000：185-186[12]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2005：225-231[13]寧曉秋.模糊數(shù)學(xué)原理與方法[M].徐州：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2004：203-208[14]朱小雷，吳碩賢.大學(xué)校園環(huán)境主觀質(zhì)量的多級(jí)模糊綜合評(píng)價(jià)[J].城市規(guī)劃，2002，26(10)：57-60[15]劉元高，劉耀儒.Mathematica4.0實(shí)用教程[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2000：65-68[16]李安貴,張志宏,孟艷等.模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].武漢：冶金工業(yè)出版社，2003：144-146致謝本論文是在杜世平老師的悉心指導(dǎo)下完成的。在寫(xiě)的過(guò)程中，得到了各位老師和同學(xué)的指導(dǎo)和幫助，在此對(duì)他們表示衷心的感謝！，13