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《積分和微積分基本定理 - Department of Physics， NTHU.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、積分和微積分基本定理一、定積分：定積分（definiteintegral）就是求面積，因此毫無(wú)神秘性可言，只是數(shù)學(xué)家用了一個(gè)古怪的名詞有點(diǎn)嚇人而已。我們買(mǎi)房子的時(shí)候，第一件關(guān)心的事情不就是房子的坪數(shù)嗎？所以自從遠(yuǎn)古的時(shí)候，人們就已經(jīng)在接觸這個(gè)問(wèn)題了，它隨時(shí)在我們的日常生活中出現(xiàn)。直到很後來(lái)人們才開(kāi)始關(guān)心速度的觀念，因此在微積分中，積分是遠(yuǎn)要比導(dǎo)數(shù)更古老的問(wèn)題。不過(guò)，要得到準(zhǔn)確的面積值卻也不是一件簡(jiǎn)單的事情。一般而言，大概只有對(duì)於用直線(xiàn)或是用圓弧圍起來(lái)的面積才辦得到。而用複雜一點(diǎn)的曲線(xiàn)所圍的區(qū)域，就會(huì)令人束手無(wú)策了。積分的目的就是
2、要解決這個(gè)問(wèn)題。讓我們先來(lái)看一個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題?？紤]如圖1的區(qū)域，三邊是互相垂直的直線(xiàn)，而一邊則是一條曲線(xiàn)，假設(shè)這條曲線(xiàn)可以以函數(shù)x=f(t)，a≦t≦b，來(lái)表示。我們目前能做的最好的事情大概就是求一下這塊面積的近似值。把a(bǔ)到b間分成n段小線(xiàn)段：在每一個(gè)小線(xiàn)段中，任取一點(diǎn)；我們以函數(shù)值為高，為底作一小長(zhǎng)方形，然後把這些小長(zhǎng)方形的面積加起來(lái)，這是可以辦得到的。很明顯而且也很容易證明，如果每一段取得越小，則這些小長(zhǎng)方形的面積和越接近我們所要求的面積A。即：(1)萊布尼茲於是就介紹了一個(gè)特殊的符號(hào)：當(dāng)每一段很小時(shí)(2)用∫的原因是因?yàn)?/p>
3、A是一種把每段都取很小時(shí)無(wú)限多項(xiàng)的變形和，所以就把和的符號(hào)Σ拉長(zhǎng)了，而將它稱(chēng)之為定積分。那麼它要如何加呢？這點(diǎn)我們下文再討論。目前我們只要記得這個(gè)奇怪的符號(hào)（尤其先不要管那個(gè)）只是代表面積就行了。要強(qiáng)調(diào)的是，這樣的處理方式並不只在面積問(wèn)題上出現(xiàn)，它幾乎是無(wú)所不在的。在普通物理中，『功』是一個(gè)重要且有用的觀念?？紤]一個(gè)物體在一條直線(xiàn)上受力f的作用移動(dòng)Δx距離，則我們說(shuō)，力f對(duì)這物體所作的功是f×Δx。但是如果這個(gè)力隨著位置在變化時(shí)f=f(x)，那麼當(dāng)這物體由a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)的時(shí)候，這個(gè)力所作的功是多少呢？答案顯然是：我們將[a，b]
4、之間分成很多小位移：每個(gè)小位移分割得足夠小，使得在這小位移間的力幾乎可以視為不變，然後我們求每一小段之間的功，再加起來(lái)：它就差不多會(huì)等於我們所想要的功了。比較一下這個(gè)公式與面積公式，可說(shuō)是完全一樣的。所以當(dāng)每段都取得很小的時(shí)候，我們就可以利用萊布尼茲的符號(hào)寫(xiě)下功的公式：這樣的例子在普通物理之中可說(shuō)是俯拾皆是的，各位應(yīng)該可以舉一隅而以三隅反。由此可以看出萊布尼茲的符號(hào)是普遍適用的，它可以將許多來(lái)源不同東西連貫在一起，一舉解決很多問(wèn)題。一、一些例子現(xiàn)在我們來(lái)看看像(1)這樣的和要怎麼加？先來(lái)看最簡(jiǎn)單的例子。例1：直線(xiàn)這是一個(gè)小學(xué)生的
5、題目，答案顯然是不過(guò)我建議各位用小長(zhǎng)方形的方法做做看，雖然很笨拙，但是可以用來(lái)熟悉一下積分的涵義。例2：圓這題目也不難，因?yàn)榇鸢甘前雸A的面積，是一般的常識(shí)，故但是沒(méi)有人能夠用小長(zhǎng)方形的方法得到這個(gè)答案。例3：拋物線(xiàn)這題目沒(méi)有現(xiàn)成的答案，我們只有用小長(zhǎng)方形的方法求求看了。完全為了方便的緣故，我們將線(xiàn)段[0,b]分成n等份，每段，再選取，故例3：要使很小，只要使n很大即可，所以項(xiàng)俱可忽略，故這就是拋物線(xiàn)在[0,b]之間的面積。練習(xí)1：證明但是不幸的是，除了這些例子之外，我們很難再用加小長(zhǎng)方形面積的方法求任何面積了。一般而言，這幾乎是
6、件不可能的任務(wù)。拋物線(xiàn)的面積基本上是紀(jì)元前250年左右由阿幾米德解決的。不過(guò)阿幾米德並不懂解析幾何這樣的高等數(shù)學(xué)，所以不像我們?cè)诶?那麼輕鬆，他算出拋物線(xiàn)面積的困難度是超乎我們想像的。然而在他之後將近兩千年的時(shí)間中，這個(gè)算面積的問(wèn)題就一直停滯不前毫無(wú)進(jìn)展，直到牛頓和萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了所謂的『微積分基本定理』才峰迴路轉(zhuǎn)有了突破。正是「山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村?！挂?、微積分基本定理如果我們?cè)跀?shù)學(xué)家中作一個(gè)民調(diào)，請(qǐng)他（她）們?cè)诙嗳邕^(guò)江之鯽的數(shù)學(xué)定理中選出一個(gè)他（她）們心目中最重要的定理，我敢打賭有九成以上數(shù)學(xué)家會(huì)選微積分基本定理。的
7、確，任何人在了解這個(gè)定理之後，就像打通任督二脈一樣，會(huì)脫胎換骨似的使數(shù)學(xué)功力大進(jìn)。這個(gè)定理的特別之處，是它很不容易被想到或發(fā)現(xiàn)。因?yàn)樗鼘蓚€(gè)看起來(lái)毫不相干的概念，速度和面積，聯(lián)繫在一起，從而發(fā)揮了無(wú)與倫比的威力，但也因此隱藏了將近兩千年，而沒(méi)有被牛頓和萊布尼茲以前的數(shù)學(xué)天才所發(fā)現(xiàn)。不過(guò)說(shuō)也奇怪的是，一旦你想到了這個(gè)聯(lián)繫，要去理解或是去證明，卻不是一件困難的事情，這真是「眾裏尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處?！瓜旅嫖覀兙蛠?lái)看看微積分基本定理。對(duì)於一個(gè)定義在[a,b]間的函數(shù)f(t)，我們考慮如圖2所示的面積。這個(gè)面積的大
8、小顯然隨著t變化，因此它是一個(gè)t的函數(shù)，稱(chēng)之為面積函數(shù)F(t)。於是如下的關(guān)係便成立：(3)這個(gè)不起眼的公式就是微積分基本定理了。用萊布尼茲的符號(hào)來(lái)寫(xiě)就是：(4)也就是說(shuō)，一個(gè)函數(shù)求完定積分之後再求導(dǎo)數(shù)，便會(huì)回到其本身。用大白話(huà)來(lái)說(shuō)就是，求面積和求速度就如同乘法
