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《高考數學一輪復習熱點難點精講精析選修系列第3部分：幾何證明選講》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、高考一輪復習熱點難點精講精析：選修系列（第3部分：幾何證明選講）一、相似三角形的判定及有關性質（一）平行線（等）分線段成比例定理的應用〖例〗如圖，F為邊上一點，連DF交AC于G，延長DF交CB的延長線于E。求證：DG·DE=DF·EG思路解析：由于條件中有平行線，考慮平行線（等）分線段定理及推論，利用相等線段（平行四邊形對邊相等），經中間比代換，證明線段成比例，得出等積式。解答：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，AD=BC，∵AD∥BC，∴，又∵AB∥DC，∴∴，即DG·DE=DF·EG。（二）相似三角形判定定理的應用〖例〗如圖，BD、CE
2、是⊿ABC的高，求證：⊿ADE∽⊿ABC。解答：（三）相似三角形性質定理的應用〖例〗⊿ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=12cm，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，求這個正方形的邊長。思路解析：利用相似三角形的性質定理找到所求正方形邊長與已知條件的關系即可解得。5解答：設正方形PQMN為加工成的正方形零件，邊QM在BC上，頂點P、N分別在AB、AC上，⊿ABC的高AD與邊PN相交于點E，設正方形的邊長為xcm，∵PN∥BC，∴⊿APN∽⊿ABC?！唷?。解得x=4.8(cm).答：加工成的正方形零件的
3、邊長為4.8cm。（四）直角三角形射影定理的應用〖例〗如圖，在Rt⊿ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求證：AD3=BC·BE·CF。思路解析：題目中有直角三角形和斜邊上的高符合直角三角形射影定理的兩個條件，選擇合適的直角三角形是解決問題的關鍵。解答：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=900，在Rt⊿ADB中，∵DE⊥AB，由射影定理得BD2=BE·AB，同理CD2=CF·AC，∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC①又在Rt⊿ABC中，AD⊥BC，∴AD2=BD·DC②由①②得AD4=BD2·CD2=BE·AB·C
4、F·AC=BE·AB·AD·BC∴AD3=BC·BE·CF二、直線與圓的位置關系（一）圓周角定理的應用〖例〗如圖，已知⊙是⊿ABC的外接圓，CD是AB邊上的高，AE是⊙的直徑。求證：AC·BC=AE·CD。解答：連接EC，5∴∠B=∠E?！逜E是⊙的直徑，∴∠ACE=900?！逤D是AB邊上的高，∴∠CDB=900。在⊿AEC與⊿CBD中，∠E=∠B，∠ACE=∠CDB，∴⊿AEC∽⊿CBD?！?，即AC·BC=AE·CD。（二）圓內接四邊形及判定定理的應用〖例〗如圖，已知AP是⊙的切線，P為切點，AC是⊙的割線，與⊙交于B，C兩點，圓心在∠PAC的內部，點M是B
5、C的中點。（1）證明：A，P，，M四點共圓；（2）求∠OAM+∠APM的大小。思路解析：要證A、P、、M四點共圓，可考慮四邊形APOM的對角互補；根據四點共圓，同弧所對的圓周角相等，進行等量代換，進而求出∠OAM+∠APM的大小。解答：（1）連接OP，OM，因為AP與⊙相切于點P，所以OP⊥AP，因為M是⊙的弦BC的中點，所以OM⊥BC，于是∠OPA+∠OMA=1800。由圓心在∠PAC的內部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓。（2）由（1）得A，P，，M四點共圓，所以∠OAM=∠OPM，由（1）得OP⊥AP，由圓心在∠PAC的內部，可知
6、∠OPM+∠APM=900，所以∠OPM+∠APM=900。（三）圓的切線的性質及判定的應用〖例〗已知AB是⊙的直徑，BC是⊙的切線，切點為B，OC平行于弦AD（如圖）。求證：DC是⊙的切線。5解答：連接OD?！逴A=OD，∴∠1=∠2，∵AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4。又OB=OD，OC=OC，∴⊿OBC≌⊿ODC，∴∠OBC=∠ODC。∵BC是⊙的切線，∴∠OBC=900，∴∠ODC=900，∴DC是⊙的切線。（四）與圓有關的比例線段〖例〗如圖所示，已知⊙與⊙相交于A、B兩點，過點A作⊙的切線交⊙于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙、⊙于
7、點D、E，DE與AC相交于點P。（1）求證：AD∥EC；（2）若AD是⊙的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長。解答：（1）連接AB，5∵AC是⊙的切線，∴∠BAC=∠D。又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC。（2）設BP=x,PE=y.∵PA=6，PC=2，∴由相交弦定理得PA·PC=BP·PE，xy=12①∵AD∥EC,∴②由①②可得，，∴DE=9+x+y=16.∵AD是⊙的切線，DE是⊙的割線，∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD=12。5
