求不定積分的幾種方法

《求不定積分的幾種方法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。

1、求不定積分的幾種方法劉燈（吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖南吉首-416000）摘要：本文比較全面的總結(jié)了幾種求不定積分的方法，并給出了相應(yīng)的例子.關(guān)鍵詞：直接積分；第一換元積分；第二換元積分；分部積分；有理函數(shù)積分SeveralmethodsofseekingindefiniteintegralLiudeng(JishouUniversity,SchoolofMathematicsandComputerScience,HunanJishou-416000)Abstract:Thisarticlecomparesacomprehensivesummaryofs

2、everalseekingindefiniteintegralmethod,andgivesexamplesofthecorrespondingKeywords:directintegral;firstsubstitutionintegral;secondsubstitutionintegral;branchpoints;rationalfunctionintegral1引言定義1.1設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上都有定義，若，則稱(chēng)為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。定義1.2函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù)稱(chēng)為在的不定積分，記作，其中稱(chēng)為積分號(hào)，為被積函數(shù)，為被積表達(dá)式，為積分變量。定義1.

3、3若是的一個(gè)原函數(shù)，則稱(chēng)的不定積分是一個(gè)函數(shù)族，其中是任意常數(shù)，為方便起見(jiàn)，寫(xiě)作.這時(shí)又稱(chēng)C為積分常數(shù)，它可取任一實(shí)數(shù)值。定義1.4設(shè)在上有定義，在上可導(dǎo)，且，，并記.(i)若在上存在原函數(shù)，則在上也存在原函數(shù),，即.(1)(ii)又若，則上述命題(i)可逆，即當(dāng)在上存在原函數(shù)時(shí)，在上也存在原函數(shù)，且=，即=.(2)以上(i)和(ii)分別稱(chēng)為第一換元積分法和第二換元積分法，公式（1）和（2）分別稱(chēng)為第一換元公式第二換元公式。定義1.5若與可導(dǎo)，不定積分存在，則也存在，并有（3）公式（3）稱(chēng)為分部積分公式，常簡(jiǎn)寫(xiě)作.定義1.6有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的商所

4、表示的函數(shù)，其一般形式為，（1）其中為非負(fù)整數(shù)，與都是常數(shù)，且若，則稱(chēng)它為真分式；若，則稱(chēng)它為假分式。定義1.7基本積分公式如下：（1）.（2）.(3).（4）.（5）.(6).（7）.（8）.(9.(10).(11).(12).(13).(14)2主要方法的列舉及運(yùn)用2.1根據(jù)基本積分公式求不定積分例2.1求的不定積分。解.2.2用第一換元積分法來(lái)求不定積分。利用該方法求不定積分的步驟是：（1）將湊成形式；（2）作變量代換，令；（3）換回原來(lái)的變量，即代替，從而求出函數(shù)的積分。例2.2求.解由可令，則得2.3利用第二換元積分法求不定積分，該方法的步驟為：（1

5、）變量代換；（2）換回原來(lái)的積分。例2.3求解令，于是=+C=+C.2.4利用分部積分法求不定積分，運(yùn)用此方法的關(guān)鍵在于與的選取，而與的選取又必須注意以下兩點(diǎn)：（1）要容易求；（2）比要容易求。例2.4求.解令，則有由分部積分公式求得.2.5用有理函數(shù)的不定積分法。看到一個(gè)不定積分函數(shù)，如果用換元積分法和分部積分法都無(wú)法解答出來(lái)，則必須用有理函數(shù)積分法。有理函數(shù)的積分可歸結(jié)為多項(xiàng)式和最簡(jiǎn)真分式的積分，該方法適合于求有理函數(shù)的不定積分。例2.5求.解在本題中，由于被積函數(shù)的分母只有單一因式，因此，部分分式分解能被簡(jiǎn)化為現(xiàn)分別計(jì)算部分分式的不定積分如下：=由遞推公

6、式，求得其中=于是得到2.6用三角函數(shù)有理式的不定積分法。通常情況下，當(dāng)被積函數(shù)是時(shí)，通過(guò)變換，可把它化為有理函數(shù)的不定積分。特別地，當(dāng)被積函數(shù)是及的有理式時(shí)，采用變換往往較為方便。例2.6求解令，則有==2.7某些無(wú)理根式的不定積分可化為有理函數(shù)的不定積分，然后再根據(jù)有理函數(shù)的不定積分法來(lái)求。（1）當(dāng)無(wú)理根式為型時(shí)，只需令，就可化為有理函數(shù)的不定積分；（2）當(dāng)無(wú)理根式為型時(shí)，時(shí)，時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為以下三種類(lèi)型之一：當(dāng)分別令后，它們就都化為三角有理式的不定積分。例2.7求解若令則可解出于是所求不定積分直接化為有理函數(shù)的不定積分：==.參考文獻(xiàn)：[1]華東師范大學(xué)

7、數(shù)學(xué)系[M].北京：高等教育出版社,2001年6月.