高中數(shù)學(xué)奧賽教程

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1、學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：集合（一）內(nèi)容綜述：本講先介紹了以下一些重要的概念：集合、子集、兩集合相等、真子集、并集、交集、相對補集，然后介紹了著名的容斥原理，接著介紹了以下幾個定律：零律、分配律、排中律、吸收律、補交轉(zhuǎn)換律、德·摩根律。然后通過6道例題分析了一部分集合題目的解題方法與技巧，同學(xué)們應(yīng)在熟悉以上定義、定理、定律的基礎(chǔ)上仔細分析例題材解法，爭取可以獨立解決訓(xùn)練題。要點講解：§1．基本理論除了課內(nèi)知識外，我們補充以下知識相對補集：稱屬于A而不屬于B的全體元素，組成的集合為B對A的相對補集或差集，記作A-B。容斥原理：以表示集合A中元素的

2、數(shù)目，我們有，其中為n個集合稱為A的階。n階集合的全部子集數(shù)目為。A，B，C為三個集合，就有下面的定律。（1）分配律（2）零律（3）排中律（4）吸收律（5）補交轉(zhuǎn)換律（6）德·摩根律的相對形式例題分析：例1：對集合{1，2，…，n}及其每一個非空了集，定義一個唯一確定的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后交替地減或加后繼的數(shù)所得的結(jié)果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，對于n=7。求所有子集的“交替和”的總和。分析；n=7時，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空

3、子集有個，雖然子集數(shù)目有限，但是逐一計算各自的“交替和”再相加，計算量仍然巨大，但是，根據(jù)“交替和”的定義，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}與{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一個不含7的集和A與的“交替和”之和應(yīng)為7。那么，我們也就很容易解決這個問題了。解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外還有個非空子集合，把這個非空子集兩兩結(jié)組后分別計算每一組中“交替和”之和，結(jié)組原則是設(shè)這是把結(jié)合為一組，顯然，每組中，“交替和”之和應(yīng)為7，共有組.所以,所有“交替和”之和應(yīng)該為。說明：我們在這道題

4、的證明過程中用了這類題目最典型的解法。就是“對應(yīng)”的方法，“對應(yīng)”的方法在解決相等的問題中應(yīng)用得更多。例2：設(shè)A={1，2，……，2n.}，證明：A的任意n+1階子集中，存在兩個數(shù)，一個可被另一個整除。分析：對于2n個數(shù)中取n+1個數(shù)，我們應(yīng)該有一個直覺就是把這2n個數(shù)分成n組，每組都必然滿足題目條件，那么由抽屜原則命題就解決了。證明：前2n個自然數(shù)中，共有n個奇數(shù)。根據(jù)自然數(shù)的一種有用的表達形式；n=(2k-1)·2(,L為非負整數(shù))考查A的下列n個子集，……容易看到：考慮A中任意n+1個元素，根據(jù)抽屜原則知，至少有兩個元素是上述n個集

5、合中同一個集合中的元素，這兩個數(shù)中，必有一個可被另一個整除。說明：把一個集合分成若干個兩兩不交的子集的并，也則分拆，這種分拆的方法在解決集合的問題時為常用方法之一。例3：某班對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科總評成績統(tǒng)計如下：優(yōu)秀的人數(shù)：數(shù)學(xué)21個，物理19個，化學(xué)20個，數(shù)學(xué)物理都優(yōu)秀9人，物理化學(xué)都優(yōu)秀7人。化學(xué)數(shù)學(xué)都優(yōu)秀8人。這個班有5人任何一科都不優(yōu)秀。那么確定這個班人數(shù)以及僅有一科優(yōu)秀的三科分別有多少個人。分析：自然地設(shè)A={數(shù)學(xué)總評優(yōu)秀的人}B={物理總評優(yōu)秀的人}C={化學(xué)總評優(yōu)秀的人}則已知

6、A

7、=21

8、B

9、=19

10、C

11、=20這表明全

12、班人數(shù)在41至48人之間。僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)是可見僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)在4至11人之間。同理僅物理優(yōu)秀的人數(shù)在3至10人之間。同理僅化學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)在5至12人之間。解：（略）。說明：先將具體的實際生活中的問題數(shù)學(xué)化，然后根據(jù)數(shù)學(xué)理論來解決這個問題不僅是競賽中常見情況，也是在未來學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)真正有用的地方。例4：n元集合具有多少個不同的不交子集對？分析：我們一般想法是對于一個子集，求出與它不交的子集個數(shù)，然后就可以求出總的子集對來了。解：如果子集對是有序的，即在子集對中可以區(qū)分第一個子集與第二個子集，則第一個子集若是k個元素，第二個子集就由其余n-

13、k個元素組成，可能的情況是種，而這時第一個集合的選取的可能情況應(yīng)為種，那么k從o變到n，總的情況可能就是。如果子集對是無序的，即兩個子集相同但次序不同的子集對不認為不同，則對有序子集對中有一對是由兩個空集組成，而對其它個有序?qū)Γ恳粚χ薪粨Q兩個子集的次序，得到的是同一個無序子集對，因此有個無序子集對，其中至少有一個子集非空，于是無序子集對的總數(shù)為分析二：我們可以從元素的角度來思考問題。對一個元素來說，它有三種不同的選擇，在第一個集合中，在第二個集合中，或者不在兩個集合中。解法二：在計算有序?qū)Φ臄?shù)目時，對每一個元素來說有三種可能：它或在第一

14、個子集，或在第二個子集，或不在其中任意一個子集，因此不同的不交有序子集對的總數(shù)，以下同解法一。說明：本題為1973年捷克的競賽題，對題目的不同分析使我們得到了差異很大的兩個解法，解法一從題目要