高中數(shù)學(xué)奧賽教程

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1、學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：集合（一）內(nèi)容綜述：本講先介紹了以下一些重要的概念：集合、子集、兩集合相等、真子集、并集、交集、相對(duì)補(bǔ)集，然后介紹了著名的容斥原理，接著介紹了以下幾個(gè)定律：零律、分配律、排中律、吸收律、補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律、德·摩根律。然后通過(guò)6道例題分析了一部分集合題目的解題方法與技巧，同學(xué)們應(yīng)在熟悉以上定義、定理、定律的基礎(chǔ)上仔細(xì)分析例題材解法，爭(zhēng)取可以獨(dú)立解決訓(xùn)練題。要點(diǎn)講解：§1．基本理論除了課內(nèi)知識(shí)外，我們補(bǔ)充以下知識(shí)相對(duì)補(bǔ)集：稱(chēng)屬于A而不屬于B的全體元素，組成的集合為B對(duì)A的相對(duì)補(bǔ)集或差集，記作A-B。容斥原理：以表示集合A中元素的

2、數(shù)目，我們有，其中為n個(gè)集合稱(chēng)為A的階。n階集合的全部子集數(shù)目為。A，B，C為三個(gè)集合，就有下面的定律。（1）分配律（2）零律（3）排中律（4）吸收律（5）補(bǔ)交轉(zhuǎn)換律（6）德·摩根律的相對(duì)形式例題分析：例1：對(duì)集合{1，2，…，n}及其每一個(gè)非空了集，定義一個(gè)唯一確定的“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后交替地減或加后繼的數(shù)所得的結(jié)果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。那么，對(duì)于n=7。求所有子集的“交替和”的總和。分析；n=7時(shí)，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空

3、子集有個(gè)，雖然子集數(shù)目有限，但是逐一計(jì)算各自的“交替和”再相加，計(jì)算量仍然巨大，但是，根據(jù)“交替和”的定義，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}與{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一個(gè)不含7的集和A與的“交替和”之和應(yīng)為7。那么，我們也就很容易解決這個(gè)問(wèn)題了。解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外還有個(gè)非空子集合，把這個(gè)非空子集兩兩結(jié)組后分別計(jì)算每一組中“交替和”之和，結(jié)組原則是設(shè)這是把結(jié)合為一組，顯然，每組中，“交替和”之和應(yīng)為7，共有組.所以,所有“交替和”之和應(yīng)該為。說(shuō)明：我們?cè)谶@道題

4、的證明過(guò)程中用了這類(lèi)題目最典型的解法。就是“對(duì)應(yīng)”的方法，“對(duì)應(yīng)”的方法在解決相等的問(wèn)題中應(yīng)用得更多。例2：設(shè)A={1，2，……，2n.}，證明：A的任意n+1階子集中，存在兩個(gè)數(shù)，一個(gè)可被另一個(gè)整除。分析：對(duì)于2n個(gè)數(shù)中取n+1個(gè)數(shù)，我們應(yīng)該有一個(gè)直覺(jué)就是把這2n個(gè)數(shù)分成n組，每組都必然滿足題目條件，那么由抽屜原則命題就解決了。證明：前2n個(gè)自然數(shù)中，共有n個(gè)奇數(shù)。根據(jù)自然數(shù)的一種有用的表達(dá)形式；n=(2k-1)·2(,L為非負(fù)整數(shù))考查A的下列n個(gè)子集，……容易看到：考慮A中任意n+1個(gè)元素，根據(jù)抽屜原則知，至少有兩個(gè)元素是上述n個(gè)集

5、合中同一個(gè)集合中的元素，這兩個(gè)數(shù)中，必有一個(gè)可被另一個(gè)整除。說(shuō)明：把一個(gè)集合分成若干個(gè)兩兩不交的子集的并，也則分拆，這種分拆的方法在解決集合的問(wèn)題時(shí)為常用方法之一。例3：某班對(duì)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科總評(píng)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：優(yōu)秀的人數(shù)：數(shù)學(xué)21個(gè)，物理19個(gè)，化學(xué)20個(gè)，數(shù)學(xué)物理都優(yōu)秀9人，物理化學(xué)都優(yōu)秀7人。化學(xué)數(shù)學(xué)都優(yōu)秀8人。這個(gè)班有5人任何一科都不優(yōu)秀。那么確定這個(gè)班人數(shù)以及僅有一科優(yōu)秀的三科分別有多少個(gè)人。分析：自然地設(shè)A={數(shù)學(xué)總評(píng)優(yōu)秀的人}B={物理總評(píng)優(yōu)秀的人}C={化學(xué)總評(píng)優(yōu)秀的人}則已知

6、A

7、=21

8、B

9、=19

10、C

11、=20這表明全

12、班人數(shù)在41至48人之間。僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)是可見(jiàn)僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)在4至11人之間。同理僅物理優(yōu)秀的人數(shù)在3至10人之間。同理僅化學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)在5至12人之間。解：（略）。說(shuō)明：先將具體的實(shí)際生活中的問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后根據(jù)數(shù)學(xué)理論來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題不僅是競(jìng)賽中常見(jiàn)情況，也是在未來(lái)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)真正有用的地方。例4：n元集合具有多少個(gè)不同的不交子集對(duì)？分析：我們一般想法是對(duì)于一個(gè)子集，求出與它不交的子集個(gè)數(shù)，然后就可以求出總的子集對(duì)來(lái)了。解：如果子集對(duì)是有序的，即在子集對(duì)中可以區(qū)分第一個(gè)子集與第二個(gè)子集，則第一個(gè)子集若是k個(gè)元素，第二個(gè)子集就由其余n-

13、k個(gè)元素組成，可能的情況是種，而這時(shí)第一個(gè)集合的選取的可能情況應(yīng)為種，那么k從o變到n，總的情況可能就是。如果子集對(duì)是無(wú)序的，即兩個(gè)子集相同但次序不同的子集對(duì)不認(rèn)為不同，則對(duì)有序子集對(duì)中有一對(duì)是由兩個(gè)空集組成，而對(duì)其它個(gè)有序?qū)?，每一?duì)中交換兩個(gè)子集的次序，得到的是同一個(gè)無(wú)序子集對(duì)，因此有個(gè)無(wú)序子集對(duì)，其中至少有一個(gè)子集非空，于是無(wú)序子集對(duì)的總數(shù)為分析二：我們可以從元素的角度來(lái)思考問(wèn)題。對(duì)一個(gè)元素來(lái)說(shuō)，它有三種不同的選擇，在第一個(gè)集合中，在第二個(gè)集合中，或者不在兩個(gè)集合中。解法二：在計(jì)算有序?qū)Φ臄?shù)目時(shí)，對(duì)每一個(gè)元素來(lái)說(shuō)有三種可能：它或在第一

14、個(gè)子集，或在第二個(gè)子集，或不在其中任意一個(gè)子集，因此不同的不交有序子集對(duì)的總數(shù)，以下同解法一。說(shuō)明：本題為1973年捷克的競(jìng)賽題，對(duì)題目的不同分析使我們得到了差異很大的兩個(gè)解法，解法一從題目要