求函數(shù)最值地方法總結(jié)材料

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1、實(shí)用文案求函數(shù)最值的常用以下方法：　　1．函數(shù)單調(diào)性法先確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后依據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．這種利用函數(shù)單調(diào)性求最值的方法就是函數(shù)單調(diào)性法．這種求解方法在高考中是必考的，且多在解答題中的某一問中出現(xiàn)．例1　設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為，則a＝________.【思路】　先判斷函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性，再求出函數(shù)的最值，然后利用條件求得參數(shù)a的值．【解析】　∵a>1，∴函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a,2a]上是增函數(shù)，∴函數(shù)在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值分別為loga2

2、a，logaa＝1.∴l(xiāng)oga2＝，a＝4.故填4.【講評】　解決這類問題的重要的一步就是判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性．這一點(diǎn)處理好了，以下的問題就容易了．一般而言，對一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)在閉區(qū)間[m，n]上的最值：若函數(shù)f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增，則f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函數(shù)f(x)在[m，n]上單調(diào)遞減，則f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函數(shù)f(x)在[m，n]上不單調(diào)，但在其分成的幾個子區(qū)間上是單調(diào)的，則可以采用分段函數(shù)求最值的方法處理．2．換元法標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案換元

3、法是指通過引入一個或幾個新的變量，來替換原來的某些變量(或代數(shù)式)，以便使問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法．在學(xué)習(xí)中，常常使用的換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目形式去靈活選擇換元的方法，以便將復(fù)雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的最值問題，從而求出原函數(shù)的最值．如可用三角代換解決形如a2＋b2＝1及部分根式函數(shù)形式的最值問題．例2　(1)函數(shù)f(x)＝x＋2的最大值為________．【解析】　方法一：設(shè)＝t(t≥0)，∴x＝1－t2，∴y＝x＋2＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，∴當(dāng)t＝1即x＝0時(shí)，y

4、max＝2.方法二：f(x)的定義域?yàn)閧x

5、x≤1}，f′(x)＝1－，由f′(x)＝0得x＝0.0＜x≤1時(shí)，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)．x＜0時(shí)，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)max＝f(0)＝2.(2)求函數(shù)y＝x＋的值域．【解析】　換元法：由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴設(shè)x＝2cosθ(θ∈[0，π])，則y＝2cosθ＋＝2cosθ＋2sinθ＝2sin(θ＋)，∵θ＋∈[，]∴sin(θ＋)∈[－，1]，∴y∈[－2,2]．3.配方法配方法是求二次函數(shù)最值的基本方法，如F(x)＝af2

6、(x)＋bf(x)＋c的函數(shù)的最值問題，可以考慮用配方法．例3　已知函數(shù)y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函數(shù)y的最小值．【思路】　將函數(shù)表達(dá)式按ex＋e－x配方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量ex＋e－x的二次函數(shù)．【解析】　y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定義域?yàn)閇2，＋∞)．∵拋物線y＝f(t)的對稱軸為t＝a，標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案∴當(dāng)a≤2且a≠0時(shí)

7、，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；當(dāng)a<0時(shí)，ymin＝f(a)＝a2－2.【講評】　利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，要特別注意自變量的取值范圍，同時(shí)還要注意對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系．如本題化為含參數(shù)的二次函數(shù)后，求解最值時(shí)要細(xì)心區(qū)分：對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，然后再根據(jù)不同情況分類解決．4．不等式法利用不等式法求解函數(shù)最值，主要是指運(yùn)用均值不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法．常常使用的基本不等式有以下幾種：a2＋b2≥2ab(a，b為實(shí)數(shù))；≥(a≥0，b≥0)；ab≤()2≤(a，b為實(shí)數(shù))．例4　設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，x－2y＋3

8、z＝0，則的最小值為________．【思路】　先利用條件將三元函數(shù)化為二元函數(shù)，再利用基本不等式求得最值．【解析】　因?yàn)閤－2y＋3z＝0，標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案所以y＝，所以＝.又x，z為正實(shí)數(shù)，所以由基本不等式，得≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3z時(shí)取“＝”．故的最小值為3.故填3.【講評】　本題是三元分式函數(shù)的最值問題，一般地，可將這類函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)問題加以解決．在利用均值不等式法求函數(shù)最值時(shí)，必須注意“一正二定三相等”，特別是“三相等”，是我們易忽略的地方，容易產(chǎn)生失誤．5．平方法對含根式的函數(shù)或含絕對值的函數(shù)，有的利用平方法，可以巧妙地將函數(shù)

9、最值問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的、易于解決的函數(shù)最值問題．例5　已知函數(shù)y＝＋的最大值為M，最小值為m，則的值為(　　)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案A.