函數(shù)地單調(diào)性與求函數(shù)地最值.doc

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1、函數(shù)的單調(diào)性與最值復(fù)習(xí)：按照列表、描點(diǎn)、連線等步驟畫出函數(shù)的圖像.圖像在軸的右側(cè)部分是上升的，當(dāng)在區(qū)間[0，+)上取值時(shí)，隨著的增大,相應(yīng)的值也隨著增大，如果取∈[0，+)，得到,,那么當(dāng)<時(shí)，有<.這時(shí)就說函數(shù)=在[0,+)上是增函數(shù).圖像在軸的左側(cè)部分是下降的，當(dāng)在區(qū)間[0，+)上取值時(shí)，隨著的增大,相應(yīng)的值反而隨著減小，如果取∈[0，+)，得到,,那么當(dāng)<時(shí)，有。這時(shí)就說函數(shù)=在[0,+)上是減函數(shù).1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I某個(gè)區(qū)間D上

2、的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的在單調(diào)區(qū)間上減函數(shù)的圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間．注意：（1）函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；（2）注意區(qū)間上所取兩點(diǎn)x1,x2的任意性；（3）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間

3、而言的，它是一個(gè)局部概念。（4）若函數(shù)在其定義的兩個(gè)區(qū)間、上都是單調(diào)增（減）函數(shù)，一般不能認(rèn)簡(jiǎn)單地認(rèn)為在區(qū)間上是增（減）函數(shù).例如在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上也是減函數(shù)，但不能說它在定義域上是減函數(shù).（3）用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性：①定義域取值；任取x1，x2∈D，且x1

4、=－=,由,∈(0,+)，得>0,又由<,得－>0,于是－>0,即>∴在(0,+)上是減函數(shù).練習(xí)：討論函數(shù)在[-1,0]的單調(diào)性.在[-1,0]上任取x1,x2且x1

5、1＜x2，那么?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．②設(shè)任意x1，x2∈[a，b]，那么?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．③(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．【梳理·總結(jié)】（1）函數(shù)與的單調(diào)性相反；（2）當(dāng)函數(shù)恒為正或恒有負(fù)時(shí)，與函數(shù)的單調(diào)性相反；（3）函數(shù)與函數(shù)（為常數(shù)）的單調(diào)性相同；（4）當(dāng)（為常數(shù)）時(shí)，與的單調(diào)性相同；當(dāng)（為常數(shù)）時(shí)

6、，與的單調(diào)性相反；（5）函數(shù)、都是增（減）函數(shù)，則仍是增（減）函數(shù)；（6）若且與都是增（減）函數(shù)，則也是增（減）函數(shù)；若且與都是增（減）函數(shù)，則也是減（增）函數(shù)；（7）設(shè)，若在定義域上是增函數(shù)，則、、都是增函數(shù).例：求函數(shù)y＝的單調(diào)區(qū)間.4.關(guān)于分段函數(shù)的單調(diào)性(1)若函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),則在區(qū)間上不一定是增函數(shù),若使得在區(qū)間上一定是增函數(shù),需補(bǔ)充條件:(2)若函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),則在區(qū)間上不一定是減函數(shù),若使得在區(qū)間上一定是減函數(shù),需補(bǔ)充條件:例：已知函數(shù)若對(duì)任意x1，x2，

7、都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值圍是(　　)A．(0,]B．(0,1)C．[,1)D．(0,3)5．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件.①對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≤M；①對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.結(jié)論M為最大值，記作M為最小值，記作例：f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的單調(diào)增區(qū)間為__________；f(x)max＝________.6.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值例題：已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R，總有

8、f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(1)＝－.(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)證明:令,則;再令,則應(yīng)有,從而在上任取,則.又時(shí),,從而,即,由定義可知函數(shù)在上的減函數(shù).(2)函數(shù)是上的減函數(shù),在區(qū)間上也是減函數(shù).從而可知在區(qū)間