函數(shù)地單調(diào)性與最值(含例題詳解)

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1、標準實用函數(shù)的單調(diào)性與最值一、知識梳理1．增函數(shù)、減函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果對于任意x1，x2∈D，且x1f(x2)．2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．3．函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件①對于任意x

2、∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①對于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值注意：1．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應分別寫，不能用并集符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)．2．兩函數(shù)f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也為增(減)函數(shù)，但f(x)·g(x)，等的單調(diào)性與其正負有關，切不可盲目

3、類比．[試一試]1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(　　)A．y＝ln(x＋2)　　　　　　B．y＝－C．D．y＝x＋解析：選A　選項A的函數(shù)y＝ln(x＋2)的增區(qū)間為(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函數(shù)．2．函數(shù)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的單調(diào)增區(qū)間為______；f(x)max＝________.解析：函數(shù)f(x)的對稱軸x＝1，單調(diào)增區(qū)間為[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1,4]　8二、方法歸納文案大全標準實用1．判斷函數(shù)

4、單調(diào)性的四種方法(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論；(2)復合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)；(3)圖像法：如果f(x)是以圖像形式給出的，或者f(x)的圖像易作出，可由圖像的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性．(4)導數(shù)法：利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)單調(diào)性．2．求函數(shù)最值的五個常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(2)圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再觀察其最高點、最低點，求出最值．(3)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的

5、方法求最值．(4)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．(5)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值．提醒：在求函數(shù)的值域或最值時，應先確定函數(shù)的定義域．[練一練]1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　)A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D.y＝lg

6、x

7、答案：C2．函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：　三、考點精練考點一求函數(shù)的單調(diào)

8、區(qū)間1、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________．解析：要使有意義，則，即，而為上的增函數(shù)，當時，u＝2x＋1也為R上的增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.文案大全標準實用答案：2．函數(shù)y＝x－

9、1－x

10、的單調(diào)增區(qū)間為________．解析：y＝x－

11、1－x

12、＝作出該函數(shù)的圖像如圖所示．由圖像可知，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1]．答案：(－∞，1]3．設函數(shù)y＝f(x)在內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)取函數(shù)，當k＝時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)A．(－∞，0)　　　　　　　B．(0，＋∞)C．(－∞

13、，－1)D．(1，＋∞)解析：選C　由f(x)>，得－1

14、對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)f(x)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．[解題通法]1．利用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時，作差后要注意差式的分解變形徹底．2．利用導數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性時，求導運算及導函數(shù)符號判斷要準確．[針對訓練]判斷函數(shù)g(x)＝在(1，＋∞)上的單調(diào)性．解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(