函數(shù)的單調(diào)性與最值(含例題詳解).doc

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1、........函數(shù)的單調(diào)性與最值一、知識(shí)梳理1．增函數(shù)、減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，如果對(duì)于任意x1，x2∈D，且x1f(x2)．2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．3．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，

2、都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值注意：1．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)．2．兩函數(shù)f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也為增(減)函數(shù)，但f(x)·g(x)，等的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比．[試一試]1．

3、下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(　　)A．y＝ln(x＋2)　　　　　　B．y＝－.學(xué)習(xí)參考.........C．D．y＝x＋解析：選A　選項(xiàng)A的函數(shù)y＝ln(x＋2)的增區(qū)間為(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函數(shù)．2．函數(shù)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的單調(diào)增區(qū)間為______；f(x)max＝________.解析：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸x＝1，單調(diào)增區(qū)間為[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1,4]　8二、方法歸納1．判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)

4、定義法：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論；(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，為增函數(shù)，不同時(shí)為減函數(shù)；(3)圖像法：如果f(x)是以圖像形式給出的，或者f(x)的圖像易作出，可由圖像的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性．2．求函數(shù)最值的五個(gè)常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(2)圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值．(3)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．(4)基本不等式法：先對(duì)

5、解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．(5)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值．提醒：在求函數(shù)的值域或最值時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域．[練一練]1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　).學(xué)習(xí)參考.........A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D.y＝lg

6、x

7、答案：C2．函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：　三、考點(diǎn)精練考點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)

8、間是________．解析：要使有意義，則，即，而為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，u＝2x＋1也為R上的增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.答案：2．函數(shù)y＝x－

9、1－x

10、的單調(diào)增區(qū)間為________．解析：y＝x－

11、1－x

12、＝作出該函數(shù)的圖像如圖所示．由圖像可知，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，1]．答案：(－∞，1]3．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在內(nèi)有定義．對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù).學(xué)習(xí)參考.........取函數(shù)，當(dāng)k＝時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)A．(－∞，0)　　　　　　　B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)

13、解析：選C　由f(x)>，得－1

14、性，故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)f(x)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．[解題通法]1．利用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，作差后要注意差式的分解變形徹底．2．利用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，求導(dǎo)運(yùn)算及導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷要準(zhǔn)確．[針對(duì)訓(xùn)練]判斷函數(shù)g(x)＝在(1，＋∞)上的單調(diào)性．解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1