地圖曲線的分形插值

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1、武測科技滬反沙以七卜】飛樂年第飛期地圖曲線的分形插值王橋武漢測繪科技大學(xué)國土信息與地圖科學(xué)更勸、提要將分形插值函數(shù)作為一種地圖圖形數(shù)據(jù)處理的新型工具進(jìn)行了紅姿丫紹、,。討論了有關(guān)的性質(zhì)算法并￡今出了一些實(shí)例關(guān)鍵詞分形理論分形插值函數(shù)迭代函數(shù)系吸引子,,銳·,、,。了〕?！?。在地圖圖形數(shù)據(jù)處理中需要對地圖圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)描述目前主要采用基于光滑性約束條,“”和“”,,件的插值函數(shù)作為工具由于引進(jìn)了過多的光滑近似對于一些復(fù)雜的圖形描述往往,,、。產(chǎn)生失真現(xiàn)象因此需要研究地圖圖形的更加有效逼真的表示方法、非規(guī)則現(xiàn)象開辟,創(chuàng)立的分形理論為研究復(fù)雜了一條新的途徑近年來已被。,廣泛和成功

2、地應(yīng)用于眾多領(lǐng)域〕地圖圖形來源于復(fù)雜的地理現(xiàn)象很多都具有明顯的分形。,,特征所研究的實(shí)際問題中第一個(gè)例子就是海岸線這已成為說明自然界存在自。,、,相似性的典型例證一些研究結(jié)果表明對于諸如海岸線山地輪廓線之類的復(fù)雜圖形運(yùn)用基,。于分形理論的分形插值函數(shù)進(jìn)行描述可以獲得良好的效果,在充分小的范圍內(nèi)過某點(diǎn)的切線段可以作為歐氏函數(shù)有一些共同的特點(diǎn)過這點(diǎn)的曲線,。,段的有效近似而且這些函數(shù)曲線的分維通常是歐氏函數(shù)用途很廣不僅因?yàn)樗鼈兊膸缀?,,意義而且因?yàn)樗鼈兡軌蛴煤唵蔚墓奖磉_(dá)提供了一種在計(jì)算機(jī)上存儲(chǔ)空間小可以通過快。速算法計(jì)算的通用的科學(xué)工作語言分形插值函數(shù)可以看成一種發(fā)展了的科學(xué)工

3、作的通用語,。言它可以近似地描述那些歐氏函數(shù)不能很好描述的復(fù)雜圖形它也可以像歐氏函數(shù)一樣由“”,,。公式簡明地表示并且可以應(yīng)用仿射鄧定理隨機(jī)迭代算法和確定性算法快速計(jì)算它與,,。歐氏函數(shù)主要不同之一在于它具有非整數(shù)維數(shù)事實(shí)上這也正是它的優(yōu)越之處定理與定義我們首先給出數(shù)據(jù)集及插值函數(shù)的定義不,,,一,,?,。,定義形如凡不凡任尸?的點(diǎn)集稱,一,,,為數(shù)據(jù)集相應(yīng)于此數(shù)據(jù)集的插值函數(shù)是一個(gè)滿足插值條件云一雙?的連,,,。收稿日期一一王橋男歲副教授現(xiàn)從事機(jī)助制圖及研究第期王橋地圖曲線的分形插值。,。,,。續(xù)函數(shù)了「工卻習(xí)點(diǎn)氣石只任叫做插值點(diǎn)我們稱函數(shù)插值于這些數(shù)據(jù)下面類似于計(jì)算方法中引

4、人多項(xiàng)式插值函數(shù)的方式,我們給。出分形插值函數(shù)的定義‘根據(jù)分形理論可以知道,尸上的迭代函數(shù),系的吸引子通常是分形而的吸弓子的圖象可通過所謂確定性算法及隨機(jī)迭代算法來快速、容易。,“地畫出為此我們提出設(shè)想構(gòu)造一個(gè)尸上,,的使它的吸引子恰為插值于給定數(shù)據(jù)集著,一。,,,。,?的連續(xù)函數(shù)巨〕的圖”。象,為敘述方便起見我們只考慮具有形式,,,·,飛譏一?的其中以成成是具有特殊結(jié)構(gòu)的仿射變換,、尖?！池岸D工、一,一‘鳳」口式」,設(shè)為一垂直于軸的線段易知做也是。,一條垂直于軸的線段記訊一試我們稱。,,試為變換訊的垂直比例因子若成一‘,,,,。,、。。‘。,,,。,,,、一,?’‘’產(chǎn)’“

5、將切得叮到”分碑段線性‘插因值函數(shù)’若擊”鎮(zhèn)人’則乃書吶山以林們、一二‘,、一一一一一一。,。五,,方‘向的壓縮強(qiáng)于刁方切向’一注‘意’到尸不呂了‘及一,,“‘”“興,?！弧?、一一一。,,、,,二,,‘、一卜人‘、,、士介立環(huán)瑞的不動(dòng)點(diǎn),、,‘戶共二號為’甲及’令矩陣一的表凡洲、‘’產(chǎn)叭‘”八“”‘一、’”,丁”‘一例一,尸,值取定使袱幾訊成鎮(zhèn)一并連接直線段【訊尸,,訊尸〕,使其組成一多角形,則此的吸引曲線子可以由反復(fù)用的仿射象取代直線段而構(gòu)造出來見圖。。自仿射曲線的構(gòu)造過程仿射變換和把尸,尸尸,三角形尸分別變成及把垂線變。。,,‘,,成垂線多角形曲線?由一瓜,。勸得出并給

6、出的越來越好的逼近上述的仿射變換可以推廣到,在方向不圖是具有相同壓縮比的情形即點(diǎn)的分形插值中所用的間隔不等,為了不失一般性,以下都是針對滿足條件刁,一、一,,,,側(cè)?翻?川?補(bǔ)?的仿射變換一、。到側(cè)少?劃?進(jìn)行討論武測科技年,,,,,、。、、、設(shè)〔?則變換袱由滿足如下個(gè)方程的個(gè)實(shí)數(shù)‘人確定,兩‘幾一,工‘幾。一‘試人一凡入十試尸人一凡,,。顯然每個(gè)變換中應(yīng)有一個(gè)自由參數(shù)由鳳的特殊性我們自然選取它作為參數(shù)令風(fēng)為任意取定,解方程一得的實(shí)數(shù)一一入尸”。刀沁一幾凡一凡試凡一工艾一一工二一‘工對一沈一石一。,一一。。尸凡鳳一幾一工一我們可以證明以下定理,則存在尸上,定理設(shè)是大于的正整數(shù)的

7、一個(gè)相當(dāng)于歐幾里得度量的度量使得,。,,。關(guān)于上述是雙曲型的特別地唯一存在一非空緊集仁尸使一”,設(shè)為定理中的的吸引子則下述定理可從理論上證明我們開始提出的設(shè)想的正確性。,,,一,,,定理在定理的條件下是一個(gè)插值于數(shù)據(jù)集凡?的連續(xù)函數(shù),,,,。了〔兩」一的圖象即一」,。,以上兩定理的證明較復(fù)雜在此從略基于上述討論我們可以給出分形插值函數(shù)的定義、,定義函數(shù)的圖象若是上述定理定理中所描述的的吸引子則稱為,‘,,,,。相應(yīng)于數(shù)據(jù)集刃?的分形插值函數(shù),、,。,‘,,‘,,如果想得到具有給定分維并且經(jīng)過