代數(shù)曲線上的lagrange插值

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1、Seediscussions,stats,andauthorprofilesforthispublicationat:https://www.researchgate.net/publication/265639620LagrangeinterpolationalonganalgebraiccurveArticle·January2001CITATIONSREADS042authors:Xue-ZhangLiangLihongCuiJilinUniversityLiaoningNormalUniversity62PUBLICATIONS250CITAT

2、IONS7PUBLICATIONS12CITATIONSSEEPROFILESEEPROFILESomeoftheauthorsofthispublicationarealsoworkingontheserelatedprojects:www.xzliang.comViewprojectAllcontentfollowingthispagewasuploadedbyXue-ZhangLiangon06June2017.Theuserhasrequestedenhancementofthedownloadedfile.2001年7月吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報第

3、3期No.3ACTASCIENTIARUMNATURALIUMUNIVERSITATISJILINENSIS2001-07代數(shù)曲線上的Lagrange插值梁學(xué)章,崔利宏(吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所,長春130012)提要:探討沿代數(shù)曲線進(jìn)行二元Lagrange插值時有關(guān)插值適定結(jié)點(diǎn)組的遞歸構(gòu)造理論問題,所得結(jié)論推廣了這一問題的以往結(jié)果.關(guān)鍵詞:代數(shù)曲線;二元Lagrange插值;適定結(jié)點(diǎn)組中圖分類號:O174.41文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:0529-0279(2001)03-0017-04我們在文獻(xiàn)[1～4]中提出了多元插值適定結(jié)點(diǎn)組及沿代數(shù)曲線插值的基本概念,

4、給出了構(gòu)造二元插值適定結(jié)點(diǎn)組的一種遞歸方法.本文進(jìn)一步研究沿?zé)o重復(fù)分量代數(shù)曲線的插值問題,并將文獻(xiàn)[2]中所提出的利用直線與k次代數(shù)曲線相交構(gòu)造插值適定結(jié)點(diǎn)組的方法推廣到利用圓錐曲線與k次代數(shù)曲線相交的情形.n+2ij設(shè)n為非負(fù)整數(shù),dn=,Pn=∑aijxy

5、aij∈R表示所有全次數(shù)不超過n的二元20≤i+j≤n多項(xiàng)式空間.設(shè)p(x,y)∈Pn,p(x,y)≠0,則稱所有滿足方程p(x,y)=0的點(diǎn)集為Pn中的代數(shù)曲線.若多項(xiàng)式p(x,y)不能表示為兩個次數(shù)不低于1的多項(xiàng)式之積,則稱多項(xiàng)式p(x,y)(代數(shù)曲線p(x,y)=0)是不可約的.[1]d2

6、d定義1設(shè){Qi}i=n1是R上的dn個相異點(diǎn),若對每一個任意給定的實(shí)數(shù)組{fi}i=n1,均可找到惟一的多項(xiàng)式P(x,y)∈Pn,使之滿足插值條件:P(Qi)=fi(i=1,…,dn),則稱該插值問題是適定插值問d題,并稱{Qni}i=1是Pn的插值適定結(jié)點(diǎn)組.n+2d很明顯,條件dn=dimPn=是{Qi}i=n1能夠成為Pn的插值適定結(jié)點(diǎn)組的一個必要條件而2非充分條件.例如,在直線上任取3個不同點(diǎn)做成的結(jié)點(diǎn)組關(guān)于P1進(jìn)行插值,以及在圓周上任取6個不同點(diǎn)做成的結(jié)點(diǎn)組關(guān)于P2進(jìn)行插值,均構(gòu)成不適定問題.這與單變量插值的情形有較大的差[5]異.由此可見

7、,構(gòu)造出多元插值的適定結(jié)點(diǎn)組是多元插值的一個首要問題.[1]dd引理1{Qnni}i=1是Pn的插值適定結(jié)點(diǎn)組的充要條件是{Qi}i=1不落在Pn中的任何一條代數(shù)曲線上.[1]d定理1設(shè){Qi}i=n1是Pn的適定結(jié)點(diǎn)組,且它的每個點(diǎn)都不在某條l次(l=1,2;l=1表示直線;l=2表示圓錐曲線)不可約代數(shù)曲線q(x,y)=0上,則在該曲線上任取(n+3)l-1個不同的點(diǎn)與d{Qi}i=n1一起必定構(gòu)成Pn+l的適定結(jié)點(diǎn)組.由定理1,得到構(gòu)造二元插值適定結(jié)點(diǎn)組的添加直線法和添加圓錐曲線法的遞歸構(gòu)造法.文獻(xiàn)[2]中提出了沿?zé)o重復(fù)分量代數(shù)曲線插值的概念.對

8、于多項(xiàng)式P(x,y)∈Pn,如果其分解式中沒有重數(shù)≥2的重因子,則稱其是無重復(fù)分量的;而與之相對應(yīng)的代數(shù)曲線稱為無重復(fù)分量代數(shù)曲線.[2]定義2設(shè)k為自然數(shù),q(x,y)=0為k次無重復(fù)分量代數(shù)曲線,n+2n+2-k(n+1)(n+2)/2,n

9、)∈Pn惟一地存在,則稱結(jié)點(diǎn)組Un={Qi}i=1為沿k次代數(shù)曲線q(x,y)=0的n次插值的