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《插值法（lagrange插值牛頓插值）課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、計(jì)算方法第二章插值法2021/7/291第二章插值法2.1引言2.2拉格朗日插值2.3差商與牛頓插值公式2.4差分與等距節(jié)點(diǎn)插值2.5埃爾米特插值2.6分段低次插值2.7三次樣條插值2021/7/292本章要點(diǎn)用簡(jiǎn)單的函數(shù)(如多項(xiàng)式函數(shù))作為一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的近似,最簡(jiǎn)單實(shí)用的方法就是插值.本章主要介紹有關(guān)插值法的一些基本概念，及多項(xiàng)式插值的基礎(chǔ)理論和幾個(gè)常用的插值方法：拉格朗日插值、分段線性插值、牛頓插值、埃爾米特插值和三次樣條插值.2021/7/2932.1引言能否存在一個(gè)性能優(yōu)良、便于計(jì)算的函
2、數(shù)一、插值問題2021/7/294這就是插值問題，上式為插值條件其插值函數(shù)的圖象如下圖2021/7/2952021/7/296二、代數(shù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞為了使插值函數(shù)更方便在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,一般插值函數(shù)都使用代數(shù)多項(xiàng)式和有理函數(shù)本章討論的就是代數(shù)插值多項(xiàng)式且滿足--------(2)--------(3)72021/7/29--------(4)上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式82021/7/29定理1.由Cramer法則,線性方程組
3、(4)有唯一解--------(2)--------(3)則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式存在且唯一.雖然線性方程組(4)推出的插值多項(xiàng)式存在且唯一但通過解線性方程組(4)求插值多項(xiàng)式卻不是好方法92021/7/29三、插值法的類型且滿足其中為實(shí)數(shù)，就稱P(x)為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值；若P(x)為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值；若P(x)為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值。本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值2021/7/29102.2拉格朗日插值此插值問題可表述為如下：?jiǎn)栴}求作次數(shù)多項(xiàng)式，使?jié)M足
4、條件這就是所謂的拉格朗日（Lagrange）插值。拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下統(tǒng)稱為L(zhǎng)agrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為n+1個(gè)插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,…,n)的構(gòu)造。2021/7/29112021/7/2912問題已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0,x1上的值為y0,y1，求作一次式，使?jié)M足條件其幾何意義，就是通過兩點(diǎn)的一條直線。2.2.1線性插值與拋物插值一、線性插值—點(diǎn)斜式2021/7/2913L12021/7/2914由直線兩點(diǎn)式可知，通
5、過A，B的直線方程為稱為線性插值(n=1的情況)，分為內(nèi)插與外推。適用情況：很小時(shí)2021/7/2915也可表示為如下對(duì)稱形式：其中，顯然，2021/7/2916線性插值舉例例1:已知，，求代入點(diǎn)斜式插值多項(xiàng)式得y=10.71428精確值為10.723805，故這個(gè)結(jié)果有3位有效數(shù)字。2021/7/2917問題求作二次式，使?jié)M足條件二次插值的幾何解釋是用通過三個(gè)點(diǎn)的拋物線來近似考察曲線，故稱為拋物插值。類似于線性插值，構(gòu)造基函數(shù)，要求滿足下式：二、拋物插值2021/7/29182021/7/29
6、19x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(121–100)(121–144)L2(115)=(100–121)(100–144)(115–121)(115–144)*10+(115–100)(115–144)*11+(144–100)(144–121)(115–100)(115–121)*12=10.7228拋物插值舉例2(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)f(x0)+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)f(
7、x1)+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)f(x2)L2(x)=和用線性插值相比，有效數(shù)字增加一位2021/7/2920為了構(gòu)造，我們先定義n次插值基函數(shù)。2.2.2拉格朗日n次插值多項(xiàng)式定義：若n次多項(xiàng)式在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足條件2021/7/2921n+1次多項(xiàng)式對(duì)n=1及n=2時(shí)的情況前面已經(jīng)討論，用類似的推導(dǎo)方法，可得到n次插值基函數(shù)為：2021/7/2922且從而2021/7/2923總結(jié)稱為y=f(x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式稱為n次拉格朗日插值基函數(shù)2021/7/292
8、4例3：求過點(diǎn)(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的拉格朗日插值多項(xiàng)式。2021/7/29252021/7/29262021/7/29272021/7/29282.2.3插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)一、插值余項(xiàng)滿足不會(huì)完全成立因此，插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差,那么我們?cè)鯓庸烙?jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？2021/7/29292021/7/2930令設(shè)其中證明：假設(shè)在區(qū)間[a,b]上f(x)的插值多項(xiàng)式為2021/7/2931若引入輔助函數(shù)2021/7/2932根據(jù)Rolle定理,再由Rolle定理,依此
