計算方法 插值法-Lagrange插值.ppt

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1、第1次Lagrange插值計算方法(NumericalAnalysis)本講內(nèi)容插值法的基本概念拉格朗日（Lagrange）插值Lagrange插值的例子Lagrange插值的誤差插值法的基本概念§1引言問題的提出若函數(shù)f(x)的解析式未知，而通過實驗觀測得到的一組數(shù)據(jù),即在某個區(qū)間[a,b]上給出一系列點的函數(shù)值yi=f(xi)xx0x1x2……xnyy0y1y2……yn第二章插值法問題：怎樣(近似)計算函數(shù)f(x)在[a,b]上的函數(shù)值呢？y=f(x)x1x2xnx0x3一般插值法的基本概念(2.1)設(shè)函數(shù)

2、y=f(x)定義在區(qū)間[a,b]上,是[a,b]上取定的n+1個互異節(jié)點，且在這些點處的函數(shù)值為已知,即。若存在一個f(x)的近似函數(shù)，滿足則稱為f(x)的一個插值函數(shù)，點xi為插值節(jié)點,稱(2.1)式為插值條件。在其它點x處就用的值作為f(x)的近似值。越簡單越好………y=f(x)x1xn插值函數(shù)目的：使得近似等于f(x).而誤差函數(shù)稱為插值余項,區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間.x0bax2用的值作為f(x)的近似值,不僅希望能較好地逼近f(x)，而且還希望它計算簡單。評論：由于代數(shù)多項式具有數(shù)值計算和理論分析方

3、便的優(yōu)點。所以本章主要介紹利用代數(shù)多項式進行插值，即代數(shù)插值。定義：若存在一個次數(shù)不超過n次的多項式使得滿足：則稱P(x)為f(x)的n次插值多項式?！陨线@種插值法通常稱為代數(shù)插值法。其幾何意義如下圖所示:y=f(x)x1x2xny=p(x)為n次多項式x0yxxk問題：這樣的多項式是否存在？定理1n次代數(shù)插值問題的解是存在且唯一的。則求插值多項式P(x)的問題就歸結(jié)為求它的系數(shù)證明:設(shè)n次多項式是函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的n+1個互異節(jié)點上的插值多項式?！刹逯禇l件可得:n+1個方程n+1個未知數(shù)a0,a1

4、,…,an…………這是一個關(guān)于待定參數(shù)的n+1階線性方程組，其系數(shù)矩陣行列式為稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（當i≠j），故V≠0。根據(jù)克萊姆（Gramer）法則，方程組的解存在并且唯一，從而P(x)被唯一確定。………………評論：以上使用線性方程組求解系數(shù)ak(k=0,…,n)，以便獲得多項式的方法復雜，不常用；唯一性：不論用何種方法來構(gòu)造，也不論用何種形式來表示n次插值多項式,只要滿足插值條件(2.1)其結(jié)果都是相互恒等的；即n次插值多項式P(x)是唯一的。HomeLagrange插

5、值§2拉格朗日（Lagrange）插值為了構(gòu)造滿足插值條件的便于使用的插值多項式P(x),先考察幾種簡單情形,然后再推廣到一般形式。（1）線性插值現(xiàn)要求用線性函數(shù)近似地代替f(x)。稱這樣的線性函數(shù)P(x)為f(x)的線性插值函數(shù)。線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個互異的點的值，選擇參數(shù)a和b,使得線性插值的幾何意義:用通過兩點的直線近似地代替曲線y=f(x)，如圖所示：y=f(x)x0x1P(x)=ax+b為了便于推廣，記由解析幾何知道,這條直線用點斜式表示為改寫為線性插值基函數(shù)或者寫

6、成：推導線性插值基函數(shù)具有如下性質(zhì)：即x0x11于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合例2.1已知，求解:x100121y1011利用線性插值化簡，得于是：（2）拋物插值要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項式拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知f(x)在三個互異點x0，x1，x2的函數(shù)值y0，y1，y2使?jié)M足二次插值條件：這就是二次插值問題。其幾何意義是用經(jīng)過3個點用以近似計算的拋物線y=f(x)x0x2y=L2(x)x1y0y2y1xyP(x)的系數(shù)直接由插值條件決定，即滿足代數(shù)方程組：因為，所

7、以方程組有解唯一解：系數(shù)矩陣可用于求2次插值多項式仿照線性插值,現(xiàn)在試圖用基函數(shù)的方法確定2次插值多項式顯然應(yīng)該有以下的形式由確定系數(shù)從而導出求二次式,使?jié)M足條件：類似地可以構(gòu)造出插值多項式于是確定了3個拋物插值的基函數(shù)：x0x2x1xy1y=l0(x)y=l1(x)y=l2(x)3個拋物插值的基函數(shù)取已知數(shù)據(jù)作為線性組合系數(shù),將基函數(shù)線性組合可得容易看出,P(x)滿足條件即已知：2個插值點可求出一次插值多項式,而3個插值點可求出二次插值多項式。一般形式的拉格朗日插值多項式……插值點增加到n+1個時,可通過n+

8、1個不同的已知點來構(gòu)造一個次數(shù)為n的代數(shù)多項式P(x)。先構(gòu)造一個特殊n次多項式的插值問題,使其在各節(jié)點上滿足…即由條件,得其中為待定常數(shù)。由條件知都是n次的零點。故可設(shè)…………代入上式,得稱為關(guān)于基點的n次插值基函數(shù)以n+1個n次基本插值多項式為基礎(chǔ)，可直接寫出滿足插值條件的n次代數(shù)插值多項式：………是次數(shù)不超過n次的多項式。（2.8）由于每個插值基函數(shù)都是n次多項式,所以他們的線性