資源描述：
《平面幾何基本定理 補充》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在學術論文-天天文庫。
1、（高中）平面幾何基礎知識（基本定理、基本性質）1．勾股定理（畢達哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍． (2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．2．射影定理（歐幾里得定理）3．中線定理（巴布斯定理）設△ABC的邊BC的中點為P，則有；中線長：．4．垂線定理：．高線長：．5．角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．如△ABC
2、中，AD平分∠BAC，則；（外角平分線定理）．角平分線長：（其中為周長一半）．6．正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）．7．余弦定理：．8．張角定理：．9．斯特瓦爾特(Stewart)定理：設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD10．圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉化？）11．弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角．12．圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）1
3、3．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圓內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點P向一邊作垂線，其延長線必平分對邊．14．點到圓的冪：設P為⊙O所在平面上任意一點，PO=d，⊙O的半徑為r，則d2－r2就是點P對于⊙O的冪．過P任作一直線與⊙O交于點A、B，則PA·PB=
4、d2－r2
5、．“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點
6、稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點．15．托勒密（Ptolemy）定理：圓內接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點，弦CD、EF經過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．17．費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離
7、；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離．定理2三角形每一內角都小于120°時，在三角形內必存在一點，它對三條邊所張的角都是120°，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有一內角不小于120°時，此角的頂點即為費馬點．1．拿破侖三角形：在任意△ABC的外側，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線共點，并且AE＝BF＝CD，這個命題稱為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1、⊙
8、A1、⊙B1的圓心構成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內側作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構成的△——內拿破侖三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點，內拿破侖三角形也是一個等邊三角形．這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心．2．九點圓（Ninepointround或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中點，從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個
9、點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質,例如:（1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;（2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與內心連線的中點;（3）三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕．3．歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上．4．歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則d2=R2－2Rr．5．銳角三角形的外接圓半徑與內切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．6
10、．重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；重心性質：（1）設G為△ABC的重心，連結AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則；（2）設G為△ABC的重心，則；（3）設G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則；（4）設G為△ABC的重心，則①；②；③（P為△ABC內任意一點）；④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即最小；⑤三角形內
