平面幾何基本定理 補(bǔ)充

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1、（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識（基本定理、基本性質(zhì)）1．勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．　(2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．2．射影定理（歐幾里得定理）3．中線定理（巴布斯定理）設(shè)△ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有；中線長：．4．垂線定理：．高線長：．5．角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應(yīng)成比例．如△ABC

2、中，AD平分∠BAC，則；（外角平分線定理）．角平分線長：（其中為周長一半）．6．正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）．7．余弦定理：．8．張角定理：．9．斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD10．圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）11．弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角．12．圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）1

3、3．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點(diǎn)P向一邊作垂線，其延長線必平分對邊．14．點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d2－r2就是點(diǎn)P對于⊙O的冪．過P任作一直線與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB=

4、d2－r2

5、．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)

6、稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當(dāng)三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)．15．托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．17．費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離

7、；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離．定理2三角形每一內(nèi)角都小于120°時，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．1．拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線共點(diǎn)，并且AE＝BF＝CD，這個命題稱為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1、⊙

8、A1、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形．這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心．2．九點(diǎn)圓（Ninepointround或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓）：三角形中，三邊中點(diǎn)，從各頂點(diǎn)向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個

9、點(diǎn)在同一個圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:（1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;（2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與內(nèi)心連線的中點(diǎn);（3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕．3．歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上．4．歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr．5．銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．6

10、．重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個點(diǎn)分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則；（2）設(shè)G為△ABC的重心，則；（3）設(shè)G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則；（4）設(shè)G為△ABC的重心，則①；②；③（P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）；④到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即最?。虎萑切蝺?nèi)