現(xiàn)代信號(hào)處理-功率譜估計(jì)

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1、七、最大熵譜估計(jì)1、利用最大熵的原則外推自相關(guān)函數(shù)2、最大熵譜估計(jì)與AR模型譜估計(jì)的等價(jià)性八、最大似然譜估計(jì)1、最小方差譜估計(jì)2、最大熵譜與最大似然譜估計(jì)的關(guān)系九、特征分解法譜估計(jì)1、正弦波用退化AR模型表示2、白噪聲中正弦波組合用一特殊的ARMA模型表示3、特征分解法譜估計(jì)功率譜估計(jì)十、Prony譜分析法1、利用最大熵的原則外推自相關(guān)函數(shù)2、最大熵譜估計(jì)與AR模型譜估計(jì)的等價(jià)性十一、多重信號(hào)分類MUSIC1、最小方差譜估計(jì)2、最大熵譜與最大似然譜估計(jì)的關(guān)系十二、特征分解法譜估計(jì)1、波束形成器2、特征子空間分析3、MUSIC算法及其改進(jìn)功率譜估計(jì)一、最大

2、熵譜估計(jì)1.利用最大熵的原則外推自相關(guān)函數(shù)按照Shannon對(duì)熵的定義，當(dāng)隨機(jī)變量X取離散值時(shí)，熵的定義為(4.6.1)式中pi是出現(xiàn)狀態(tài)i的概率。當(dāng)X取連續(xù)值時(shí)，熵的定義為(4.6.2)式中,p(x)是X的概率密度函數(shù)，對(duì)于離散隨機(jī)序列,概率密度函數(shù)用聯(lián)合概率密度函數(shù)代替。顯然,熵代表一種不確定性，最大熵代表最大的不確定性，或者說最大的隨機(jī)性。下面我們研究對(duì)于有限的自相關(guān)函數(shù)值不作任何改變，對(duì)于未知自相關(guān)函數(shù)用最大熵原則外推，即不作任何附加條件的外推方法。假設(shè)x(n)是零均值正態(tài)分布的平穩(wěn)隨機(jī)序列，它的N維高斯概率密度函數(shù)為式中按照（4.6.2）式，x

3、(n)信號(hào)的熵為（4.6.3）式中det(Rxx(N))表示矩陣Rxx(N)的行列式，由上式表明為使熵最大，要求det(Rxx(N)最大。若已知N+1個(gè)自相關(guān)函數(shù)值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最大熵方法外推rxx(N+1)。設(shè)rxx(N+1)確實(shí)是信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的第N+2個(gè)值，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，由N+2個(gè)自相關(guān)函數(shù)組成的矩陣為（4.6.4）它必須是非負(fù)定的矩陣，即（4.6.5）將行列式展開，det(Rxx(N+1))是rxx(N+1)的二次函數(shù)，該二次函數(shù)系數(shù)的符號(hào)是：(-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1，且det(Rx

4、x(N+1))對(duì)rxx(N+1)的二次導(dǎo)數(shù)是-2det［Rxx(N-1)］，它是負(fù)值，負(fù)值表示det(Rxx(N+1))對(duì)rxx(N+1)的一次導(dǎo)數(shù)是減函數(shù)，det(Rxx·(N+1))作為rxx(N+1)的函數(shù)，凹口向下，那么只有一個(gè)最大值。為選擇rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大，解下列方程：(4.6.6)用數(shù)學(xué)歸納法，得到（4.6.7）上式是rxx(N+1)的一次函數(shù)，可以解出rxx(N+1)。繼續(xù)再將rxx(N+1)代入Rxx(N+2)和det(Rxx(N+2))中，求det(Rxx(N+2))對(duì)rxx(N+2)的最大值，得到rxx(

5、N+2);以此類推，可推出任意多個(gè)其它自相關(guān)函數(shù)值，而不必假設(shè)它們?yōu)榱悖@就是最大熵譜估計(jì)的基本思想。2.最大熵譜估計(jì)與AR模型譜估計(jì)的等價(jià)性我們已經(jīng)知道AR模型信號(hào)自相關(guān)函數(shù)與模型參數(shù)服從Yule-Walker方程，即將m≥1的情況寫成矩陣形式：m>0m=0式中ai是AR模型系數(shù),i=1,2,3,…,N,。在AR模型中,列寫齊次方程式,可得（4.6.8）及利用N個(gè)參數(shù),由齊次方程組即可解得a1,a2,…,aN值,再將得到的參數(shù)值代入(4.6.8)式,并將它整理成行列式:可以看出AR模型得到的結(jié)果與按最大熵外推rxx(N+1)得到的結(jié)果一致，這就證明了

6、當(dāng)x(n)為高斯分布時(shí)的最大熵譜估計(jì)與AR模型法是等價(jià)的。上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函數(shù)，由此可解得rxx(N+1)。再用類似的方法求得rxx(N+2)，rxx(N+3)，┄，然后確定功率譜估計(jì)。最大熵譜估計(jì)用下式計(jì)算信號(hào)功率譜：（4.6.9）二、最大似然譜估計(jì)１、最小方差譜估計(jì)最大似然譜估計(jì)是用一個(gè)FIR濾波器實(shí)現(xiàn)，該濾波器對(duì)所關(guān)心頻率的正弦信號(hào)，可以無失真地通過，而對(duì)于其它頻率的信號(hào)，讓其頻響盡可能地小，亦即將它們盡可能地濾除。此時(shí),濾波器輸出的均方值，就作為信號(hào)的功率譜估計(jì)。設(shè)實(shí)信號(hào)用x(n)表示，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)函數(shù)用A(z)表示

7、：輸出y(n)為(4.6.10)式中輸出信號(hào)的均方值為(4.6.11)上式中T表示轉(zhuǎn)置,H表示共軛轉(zhuǎn)置,Rp=E［XXT］是Toeplith自相關(guān)矩陣,為求,必須先求FIR濾波器的系數(shù)。求這些系數(shù)的原則是：在所關(guān)心頻率ωi處，信號(hào)x(n)無失真地通過，即在ωi處的傳輸函數(shù)為1：式中(4.6.12)另外一個(gè)原則是在ωi附近的頻率分量盡量衰減掉，即ω≠ωi處,濾波器輸出y(n)的均方差最小,即(4.6.11)式最小,此時(shí)作為信號(hào)x(n)的功率譜估計(jì)。因此,最大似然譜估計(jì)稱為最小方差譜估計(jì)更為合適，但由于習(xí)慣也可以仍稱為最大似然譜估計(jì)。在以上原則下，使方差最小

8、的濾波器系數(shù)和分別為［30］、［31］應(yīng)該指出,此時(shí)并不是真正意義上的信號(hào)功率譜