導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

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1、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例1在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由題意可知，當(dāng)x過小（接近0）或過大（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因此，16000是最大值答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16000cm3例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？解：設(shè)圓柱的高為h，底半

2、徑為R，則表面積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得，R=，從而h====2即h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最??？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0．例3已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格．由此可得出

3、利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤．解：收入，利潤令，即，求得唯一的極值點(diǎn)答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤L最大例4.如圖，海島城市A離海岸120千米，海濱城市B離C點(diǎn)160千米，已知陸上汽車速度是海上輪船速度的2倍，要使A、B兩城市之間運(yùn)輸時(shí)間最少，轉(zhuǎn)運(yùn)碼頭D建在何處最佳?　　[分析]根據(jù)題設(shè)，適當(dāng)選定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)或其他方法求出函數(shù)的最小值．[解]設(shè)CD=x，則，BD=160-x，又設(shè)海上輪船速度為V千米/小時(shí)，則所用總時(shí)間　　令y′=0得(舍去)，　　在(0，160)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題的意義，函數(shù)y在時(shí)取

4、得最小值，即轉(zhuǎn)運(yùn)碼頭D建在離C為千米處，所用時(shí)間最少．[反思]解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)．把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，把具體實(shí)際抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解．本題也可以設(shè)∠ADC=θ，把運(yùn)輸時(shí)間表示為θ的三角函數(shù)，然后再利用導(dǎo)數(shù)或其他方法求最小值．4．知識點(diǎn)小結(jié)⑴解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義．⑵根據(jù)問題的實(shí)際意義來判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不

5、必再與端點(diǎn)值比較．⑶相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡單5.課外練習(xí)基礎(chǔ)題1.如圖，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm,在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，制成一個(gè)無蓋的小盒子，則小正方形的邊長為_______cm時(shí)，盒子容積最大解：（1）正方形邊長為x,則V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0

6、積為定值S時(shí)，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時(shí)的高h(yuǎn)和下底邊長b.解：由梯形面積公式，得S=(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b,∴S=①∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=×2+b②由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)=l′==0,∴h=,當(dāng)h<時(shí)，l′<0,h>時(shí)，l′>0.∴h=時(shí)，l取最小值，此時(shí)b=3．某工廠需要建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，問堆料場的長和寬各為多少時(shí)，才能使砌墻所用的材料最??？解要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短．如右圖所示，設(shè)

7、場地一邊長為xm，則另一邊長為m，因此新墻總長度L=2x+(x>0),L′=2-．令L′=2-=0,得x=16或x=-16．∵x>0,∴x=16．∵L在(0,+∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn),∴它必是最小值點(diǎn)．∵x=16,∴=32．故當(dāng)堆料場的寬為16m，長為32m時(shí)，可使砌墻所用的材料最?。?．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本（萬元），又知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50萬元，問產(chǎn)量定為多少時(shí)總利潤最大？解：設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為，則，所以總利潤滿足：因此令時(shí)，總利潤最小。歷年過往真題5.統(tǒng)計(jì)表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量

8、y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：，已知甲、乙兩地相距100千米.（Ⅰ）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的