2013專(zhuān)轉(zhuǎn)本高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)資料(同方)

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1、55羅君秋個(gè)人資料第二章導(dǎo)數(shù)計(jì)算及應(yīng)用本章主要知識(shí)點(diǎn)l導(dǎo)數(shù)定義l復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),高階導(dǎo)數(shù),微分l隱函數(shù),參數(shù)方程求導(dǎo)l導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)定義為左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)存在有限且分段點(diǎn)求導(dǎo)必須應(yīng)用定義。兩個(gè)重要變形：1.2.若存在，例2.1.若，求解：＝例2.2.若求-55-55羅君秋個(gè)人資料解：＝例2.3．求解：所以不存在.例2.4．，求解：所以不存在。例2.5．求。解：不存在所以不存在例2.6．如果，分析函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。-55-55羅君秋個(gè)人資料解：所以f(x)在x=0處不連續(xù)。二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、高階導(dǎo)數(shù)、微分1．復(fù)合函數(shù)中的層

2、次關(guān)系識(shí)別正確識(shí)別復(fù)合函數(shù)構(gòu)建的層次是快速準(zhǔn)確求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的關(guān)鍵。下列通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明復(fù)合函數(shù)層次識(shí)別問(wèn)題。例2.7．由外及里分為四層：例2.8．分為一層：例2.9．分為三層：立方例2.10．分為四層：化分清層次的同時(shí)，要注意每一層符號(hào)下的變量是什么，不可混淆。2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)原則我們將求導(dǎo)的所謂“鏈?zhǔn)揭?guī)則”等價(jià)轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)“口訣”：“外及里；號(hào)變號(hào)；則用則；層間乘”。例2.11．，求，解：-55-55羅君秋個(gè)人資料例2.12．，求；解：例2.13．，求；解：例2.14．，求解：分段函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要切記對(duì)于分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)要用定義。例2.15．，

3、求解：，-55-55羅君秋個(gè)人資料綜合得，。例2.16.，求解：，所以不存在。例2.17.已知，（1）求；（2）研究在處的連續(xù)性。解：（1），。（2），不存在，故在處不連續(xù)，且為II類(lèi)間斷。-55-55羅君秋個(gè)人資料3.高階導(dǎo)數(shù)與微分（1）高階導(dǎo)數(shù)，幾個(gè)常用公式（1）（2）（3）（4）（5）萊伯尼茲公式例2.18.，求解：例2.19.，求-55-55羅君秋個(gè)人資料解：例2.20．，求解：例2.21．，求解：例2.22．，求解：例2.23．，求解：-55-55羅君秋個(gè)人資料（2）一階微分定義：對(duì)于函數(shù)，如果存在常數(shù)，使得：則稱(chēng)在處可微。成立：在

4、可導(dǎo)可微，且?？勺鳛槲⒎智蠼夤健＠?.24．，求解：。例2.25．，求。解：，例2.26．，求解：，，故，所以。-55-55羅君秋個(gè)人資料例2.27．利用微分近似計(jì)算。解：令，則=。4、求導(dǎo)中若干特別問(wèn)題（1）奇偶函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)論：奇（偶）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶（奇）函數(shù)。例2.28．f（x）為奇函數(shù)，。例2.29．f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù)為（偶函數(shù)）。（2）（3），在x＝a導(dǎo)數(shù)最大階數(shù)等于m+n-1.例2.30．導(dǎo)數(shù)最大階數(shù)為（1階）。（4）例2.31．求解：（5）符號(hào)型求導(dǎo)例2.32.,求。解：-55-55羅君秋個(gè)人資料三、隱函數(shù)、參數(shù)方法求導(dǎo)

5、1．隱函數(shù)求導(dǎo)由方程確定的函數(shù)，隱函數(shù)求導(dǎo)可看成復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的特例。例2.33．由確定隱函數(shù)，求。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得例2.34．由方程確定隱函數(shù),求.解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：（*）=，（*）式再對(duì)求導(dǎo)，得：例2.35．已知由方程確定，求.解：將代入，得到。-55-55羅君秋個(gè)人資料方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，，。2．參數(shù)方程求導(dǎo)問(wèn)題：,求,.求導(dǎo)公式：==，=.例2.36．已知求,.解：===，===.例2.37．已知，求，，并給出時(shí)的切線(xiàn)法線(xiàn)方程.解:==,==，斜率==，，，-55-55羅君秋個(gè)人資料切線(xiàn)方程為。法線(xiàn)斜率，法線(xiàn)方程為：例2.38

6、．已知由確定，求。解：將方程中分別看成為的函數(shù)，分別對(duì)求導(dǎo)得解得：=，=所以==。四、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（a）斜率和幾何應(yīng)用（b）洛必達(dá)法則求極限（c）函數(shù)單調(diào)性,凹凸性,極值與拐點(diǎn),漸近線(xiàn)（d）最大值，最小值與實(shí)際應(yīng)用（e）微分中值定理的應(yīng)用（f）證明不等式1．斜率與幾何應(yīng)用函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)為切線(xiàn)斜率，即,過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為=。法線(xiàn)方程為=。-55-55羅君秋個(gè)人資料例2.39．，求過(guò)的切線(xiàn)方程。解：，切線(xiàn)方程為=。例2.40．過(guò)點(diǎn)引拋物線(xiàn)=的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程。解：設(shè)切點(diǎn)為，因=，，切線(xiàn)方程為=，因?yàn)橐嘣谇芯€(xiàn)上，所以=，，，所以，切線(xiàn)方程為=±。圖示2.1

7、例2.41．問(wèn)函數(shù)=哪一點(diǎn)上的切線(xiàn)與直線(xiàn)=成600角？解：設(shè)切線(xiàn)斜率為，=，=，=，=解得：=，==，解得：=.2．洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是導(dǎo)數(shù)對(duì)極限的應(yīng)用，歸結(jié)為求極限問(wèn)題的題型六。它是求極限問(wèn)題非常重要的一個(gè)題型。洛必達(dá)法則：若且在的鄰域附近可導(dǎo)。如果成立則。-55-55羅君秋個(gè)人資料注：①洛必達(dá)法則處理的形式必須是未定式。對(duì)于,，等必須變形為形式。②洛必達(dá)法則是一個(gè)充分性的法則，若不存在，則說(shuō)明此方法失效。③洛必達(dá)法則只要前提正確，可重復(fù)使用。④一般而言，洛必達(dá)法則和求極限題型五配合使用效果會(huì)更佳。注意其和連續(xù)，可導(dǎo)概念結(jié)合的綜合題。例2

8、.42．解：原式=例2.43．解：原式=例2.44．解：原式例2.45．解：原式=例2.46．解：原式=例2.47．解：原式=-55-55羅君秋個(gè)人資料例2.48．