2013專轉本高數(shù)第二章導數(shù)復習資料(同方)

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1、55羅君秋個人資料第二章導數(shù)計算及應用本章主要知識點l導數(shù)定義l復合函數(shù)求導,高階導數(shù),微分l隱函數(shù),參數(shù)方程求導l導數(shù)應用一、導數(shù)定義函數(shù)在處導數(shù)定義為左導數(shù)右導數(shù)導數(shù)存在有限且分段點求導必須應用定義。兩個重要變形：1.2.若存在，例2.1.若，求解：＝例2.2.若求-55-55羅君秋個人資料解：＝例2.3．求解：所以不存在.例2.4．，求解：所以不存在。例2.5．求。解：不存在所以不存在例2.6．如果，分析函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。-55-55羅君秋個人資料解：所以f(x)在x=0處不連續(xù)。二、復合函數(shù)求導、高階導數(shù)、微分1．復合函數(shù)中的層

2、次關系識別正確識別復合函數(shù)構建的層次是快速準確求導復合函數(shù)的關鍵。下列通過幾個例子來說明復合函數(shù)層次識別問題。例2.7．由外及里分為四層：例2.8．分為一層：例2.9．分為三層：立方例2.10．分為四層：化分清層次的同時，要注意每一層符號下的變量是什么，不可混淆。2、復合函數(shù)的求導原則我們將求導的所謂“鏈式規(guī)則”等價轉化為求導“口訣”：“外及里；號變號；則用則；層間乘”。例2.11．，求，解：-55-55羅君秋個人資料例2.12．，求；解：例2.13．，求；解：例2.14．，求解：分段函數(shù)求導時，要切記對于分段點的導數(shù)要用定義。例2.15．，

3、求解：，-55-55羅君秋個人資料綜合得，。例2.16.，求解：，所以不存在。例2.17.已知，（1）求；（2）研究在處的連續(xù)性。解：（1），。（2），不存在，故在處不連續(xù)，且為II類間斷。-55-55羅君秋個人資料3.高階導數(shù)與微分（1）高階導數(shù)，幾個常用公式（1）（2）（3）（4）（5）萊伯尼茲公式例2.18.，求解：例2.19.，求-55-55羅君秋個人資料解：例2.20．，求解：例2.21．，求解：例2.22．，求解：例2.23．，求解：-55-55羅君秋個人資料（2）一階微分定義：對于函數(shù)，如果存在常數(shù)，使得：則稱在處可微。成立：在

4、可導可微，且。可作為微分求解公式。例2.24．，求解：。例2.25．，求。解：，例2.26．，求解：，，故，所以。-55-55羅君秋個人資料例2.27．利用微分近似計算。解：令，則=。4、求導中若干特別問題（1）奇偶函數(shù)導數(shù)結論：奇（偶）函數(shù)的導數(shù)為偶（奇）函數(shù)。例2.28．f（x）為奇函數(shù)，。例2.29．f(x)為可導函數(shù)，則的導數(shù)為（偶函數(shù)）。（2）（3），在x＝a導數(shù)最大階數(shù)等于m+n-1.例2.30．導數(shù)最大階數(shù)為（1階）。（4）例2.31．求解：（5）符號型求導例2.32.,求。解：-55-55羅君秋個人資料三、隱函數(shù)、參數(shù)方法求導

5、1．隱函數(shù)求導由方程確定的函數(shù)，隱函數(shù)求導可看成復合函數(shù)求導的特例。例2.33．由確定隱函數(shù)，求。解：方程兩邊對求導得例2.34．由方程確定隱函數(shù),求.解：方程兩邊對求導，得：（*）=，（*）式再對求導，得：例2.35．已知由方程確定，求.解：將代入，得到。-55-55羅君秋個人資料方程兩端對求導，得，，。2．參數(shù)方程求導問題：,求,.求導公式：==，=.例2.36．已知求,.解：===，===.例2.37．已知，求，，并給出時的切線法線方程.解:==,==，斜率==，，，-55-55羅君秋個人資料切線方程為。法線斜率，法線方程為：例2.38

6、．已知由確定，求。解：將方程中分別看成為的函數(shù)，分別對求導得解得：=，=所以==。四、導數(shù)應用（a）斜率和幾何應用（b）洛必達法則求極限（c）函數(shù)單調(diào)性,凹凸性,極值與拐點,漸近線（d）最大值，最小值與實際應用（e）微分中值定理的應用（f）證明不等式1．斜率與幾何應用函數(shù)在處導數(shù)為切線斜率，即,過點的切線方程為=。法線方程為=。-55-55羅君秋個人資料例2.39．，求過的切線方程。解：，切線方程為=。例2.40．過點引拋物線=的切線，求切線方程。解：設切點為，因=，，切線方程為=，因為亦在切線上，所以=，，，所以，切線方程為=±。圖示2.1

7、例2.41．問函數(shù)=哪一點上的切線與直線=成600角？解：設切線斜率為，=，=，=，=解得：=，==，解得：=.2．洛必達法則洛必達法則是導數(shù)對極限的應用，歸結為求極限問題的題型六。它是求極限問題非常重要的一個題型。洛必達法則：若且在的鄰域附近可導。如果成立則。-55-55羅君秋個人資料注：①洛必達法則處理的形式必須是未定式。對于,，等必須變形為形式。②洛必達法則是一個充分性的法則，若不存在，則說明此方法失效。③洛必達法則只要前提正確，可重復使用。④一般而言，洛必達法則和求極限題型五配合使用效果會更佳。注意其和連續(xù)，可導概念結合的綜合題。例2

8、.42．解：原式=例2.43．解：原式=例2.44．解：原式例2.45．解：原式=例2.46．解：原式=例2.47．解：原式=-55-55羅君秋個人資料例2.48．