有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

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1、第三章有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1.力心：如果運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受力的作用線始終通過質(zhì)點(diǎn)和空間某固定點(diǎn)，則稱此力為有心力，此固定點(diǎn)稱為力心。2.有心力場(chǎng)：有心力構(gòu)成的力場(chǎng)。3.研究有心力場(chǎng)的原因：有心力場(chǎng)是自然界中最普遍、最重要的力場(chǎng)之一。宏觀：行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)微觀：電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)研究有心力場(chǎng)的前提：假定力心不動(dòng)4.兩體問題：實(shí)際上力心并非靜止，所以行星和太陽(yáng)、電子和原子核應(yīng)分別作為一個(gè)整體同時(shí)考慮，即它們實(shí)際上組成了兩體問題。定義：由兩個(gè)相互作用著的質(zhì)點(diǎn)組成的封閉系統(tǒng)，在慣性系中的運(yùn)動(dòng)問題，稱為兩體問題。5.兩體問題的類型束縛運(yùn)動(dòng)：如果兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間有吸引力，則在一定的初始條件下，它們可能形成

2、一個(gè)束縛體系，在有限空間范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)；碰撞：a、在另一些初始條件下，它們也可能相互飛開，無限遠(yuǎn)離。如果兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)先互相飛近，然后再飛開，就稱為碰撞；b、兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間是排斥力，則它們不可能形成束縛體系，而只能發(fā)生碰撞。6.數(shù)學(xué)上看兩體問題：對(duì)N個(gè)無約束的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)求解運(yùn)動(dòng)方程很困難，N=2(兩體問題)，運(yùn)動(dòng)方程易于求解。7.有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)：歸結(jié)為兩體問題?！?.3.1二體問題約化質(zhì)量設(shè)：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且不存在外場(chǎng)則：由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒(V:質(zhì)心的速度)——兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)不處于外場(chǎng)中時(shí)，它們的質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)(不感興趣，轉(zhuǎn)到質(zhì)心系)。在質(zhì)心系中：V=0——質(zhì)心固定不動(dòng)以質(zhì)心

3、為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系質(zhì)心系的矢徑為0。而又令：(r：由引向的矢量)則(用一個(gè)變量r表示)系統(tǒng)的拉格朗日為：——與質(zhì)量為m、矢徑為r的質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù)一樣。即：二體問題可轉(zhuǎn)化為在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的單體問題。討論：若，則重的固定在質(zhì)心位置上不動(dòng)，成為力心；輕的在產(chǎn)生的有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。例子：地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)?！?.3.2有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一般分析一、守恒量在有心力場(chǎng)中，角動(dòng)量守恒運(yùn)動(dòng)過程中,:質(zhì)點(diǎn)的位置始終在一個(gè)垂直于L的平面上。即：有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)。設(shè)：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所在的平面為xz平面()則：L不包含變量：循環(huán)變量與對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量(角動(dòng)量)守恒2．L不顯含t能量守恒上

4、式說明：兩維(平面)運(yùn)動(dòng)能量等效一維運(yùn)動(dòng)的能量(一維運(yùn)動(dòng)最簡(jiǎn)單)令：——等效勢(shì)能(等效一維運(yùn)動(dòng)的“勢(shì)能”)——離心能——等效力——慣性離心力產(chǎn)生慣性離心力的原因：上述等效的一維運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是在以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中觀察質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系是非慣性系。二、等面積定律———開普勒第二定律角動(dòng)量守恒的幾何意義：設(shè)：；：矢徑r在時(shí)間內(nèi)掃過的面積:r在單位時(shí)間掃過的面積，又——在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的矢徑在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。三、運(yùn)動(dòng)方程的解：利用守恒律來解由能量守恒：得：分離變量：積分：——確定了r=r(t)。r是t的隱函數(shù)。四、軌道微分方程——比耐公式由：得：令，則對(duì)求導(dǎo)：

5、——運(yùn)動(dòng)微分方程(比耐公式)說明：(1)軌道方程：可用勢(shì)能表示，也可用力表示；(2)由比耐公式，可求運(yùn)動(dòng)軌道；(3)若已知軌道，則可求作用力F?！?.3.3平方反比引力開普勒問題重要的有心力：平方反比有心力(和成反比的力)例：萬有引力，帶異號(hào)電荷之間的庫(kù)侖力任務(wù)：研究行星的運(yùn)動(dòng)近似處理：行星只受到太陽(yáng)引力的作用，而忽略行星之間的相互作用。行星的運(yùn)動(dòng)是在平方反比引力作用下的運(yùn)動(dòng)。一、運(yùn)動(dòng)形式的分類設(shè)：平方反比引力為；質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)，F(xiàn)做功：對(duì)dw積分，得勢(shì)能：設(shè)：時(shí)，，則等效勢(shì)能：又：則：——限制了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)區(qū)域由圖：E<0:質(zhì)點(diǎn)限制在有限區(qū)域中運(yùn)動(dòng)E>0:運(yùn)動(dòng)區(qū)域E=0:過渡情況，質(zhì)點(diǎn)

6、也能運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)即運(yùn)動(dòng)形式分兩類：束縛運(yùn)動(dòng)無限運(yùn)動(dòng)二、軌道運(yùn)動(dòng)由于已知，所以由比耐公式可求運(yùn)動(dòng)軌道。將代入比耐公式得：令：則：——諧振動(dòng)方程其解為：令：，有：又：將r的表達(dá)式代入得到：E<0:e<1橢圓軌道(束縛運(yùn)動(dòng))E=0:e=1拋物線軌道(無限運(yùn)動(dòng))E>0:e>1雙曲線軌道(無限運(yùn)動(dòng))三、行星的運(yùn)動(dòng)開普勒問題已講：已知平方反比引力運(yùn)動(dòng)規(guī)律但：開普勒不知道行星和太陽(yáng)之間有平方反比引力。牛頓：由開普勒三定律萬有引力定律任務(wù)：弄清這一推證過程。行星運(yùn)動(dòng)三定律第一定律：行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，并以太陽(yáng)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；第二定律：從太陽(yáng)引向行星的矢徑在相等時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積；第三定律：

7、行星公轉(zhuǎn)周期的平方和軌道半長(zhǎng)軸的立方成正比。已學(xué)：——矢徑在單位時(shí)間掃過的面積正比于角動(dòng)量開普勒第二定律常數(shù)常數(shù)空間各向同性行星所受到的力只能是有心力(可用有心力運(yùn)動(dòng)規(guī)律)開普勒第一定律行星的軌道：橢圓橢圓方程：比耐公式：若已知軌道，則可求力。——行星受到太陽(yáng)的平方反比力開普勒第三定律比例系數(shù)由積分：經(jīng)過一周期：幾何關(guān)系：：與行星無關(guān)的常量，只可能與太陽(yáng)的性質(zhì)(太陽(yáng)的質(zhì)量)有關(guān)。顯然：行星與太陽(yáng)之間的引力應(yīng)該正比于而不是反比于太陽(yáng)的質(zhì)量M令(G：普適常量)——萬有引力定律