資源描述:
《數(shù)學(xué)未解之謎》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、天使和惡魔天使和惡魔在一個無限大的棋盤上玩游戲。每一次,惡魔可以挖掉棋盤上的任意一個格子,天使則可以在棋盤上飛行1000步之后落地;如果天使落在了一個被挖掉的格子上,天使就輸了。問題:惡魔能否困住天使(在天使周圍挖一圈厚度1000的坑)?這是Conway大牛的又一個經(jīng)典謎題。經(jīng)常閱讀這個Blog的人會發(fā)現(xiàn),Conway大牛的出鏡率極高。不過這一次,Conway真的是傷透了不少數(shù)學(xué)家的腦筋。作為一個很"正常"的組合游戲,天使與惡魔的問題竟然一直沒能得到解決。目前已經(jīng)有的結(jié)論是,如果天使每次只能移動一步,惡魔一定能獲勝。不過,天使只要能每次飛兩步,似乎就已經(jīng)很無敵了。當(dāng)然,魔鬼的
2、優(yōu)勢也不小——它不用擔(dān)心自己"走錯",每多挖一個坑對于它來說都是有利的。話說回來,Conway本人似乎仍然相信天使能贏——他懸賞了1000美元征求惡魔必勝的證明,但只懸賞了100美元征求天使必勝的證明。Gilbreath猜想從小到大依次列出所有的質(zhì)數(shù): 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,... 求出相鄰兩項之差: 1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,... 現(xiàn)在,再次求出所得序列中相鄰兩項之差,又會得到一個新的序列: 1,0,2,2,2,2,2,2,4,... 重復(fù)對所得序列進行這樣的操作,我們還可以依次得到 1,2,0,0,0,0,
3、0,2,... 1,2,0,0,0,0,2,... 1,2,0,0,0,2,... 1,2,0,0,2,... 大家會發(fā)現(xiàn)一個有趣的規(guī)律:每行序列的第一個數(shù)都是1?! ∧橙眨瑪?shù)學(xué)家NormanL.Gilbreath閑得無聊,在餐巾上不斷對質(zhì)數(shù)序列求差,于是發(fā)現(xiàn)了上面這個規(guī)律。Gilbreath的兩個學(xué)生對前64419行序列進行了檢驗,發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律始終成立。1958年,Gilbreath在一個數(shù)學(xué)交流會上提出了他的發(fā)現(xiàn),Gilbreath猜想由此誕生?! ∵@個規(guī)律如此之強,很少有人認為猜想不成立。1993年,AndrewOdlyzko對10000000000000以內(nèi)的
4、質(zhì)數(shù)(也就是346065536839行)進行了檢驗,也沒有發(fā)現(xiàn)反例。 不過,這一看似簡單的問題,幾十年來硬是沒人解決。3x+1問題從任意一個正整數(shù)開始,重復(fù)對其進行下面的操作:如果這個數(shù)是偶數(shù),把它除以2;如果這個數(shù)是奇數(shù),則把它擴大到原來的3倍后再加1。序列是否最終總會變成4,2,1,4,2,1,…的循環(huán)?這個問題可以說是一個"坑"——乍看之下,問題非常簡單,突破口很多,于是數(shù)學(xué)家們紛紛往里面跳;殊不知進去容易出去難,不少數(shù)學(xué)家到死都沒把這個問題搞出來。已經(jīng)中招的數(shù)學(xué)家不計其數(shù),這可以從3x+1問題的各種別名看出來:3x+1問題又叫Collatz猜想、Syracuse問題
5、、Kakutani問題、Hasse算法、Ulam問題等等。后來,由于命名爭議太大,干脆讓誰都不沾光,直接叫做3x+1問題算了。3x+1問題不是一般的困難。這里舉一個例子來說明數(shù)列收斂有多么沒規(guī)律。從26開始算起,10步就掉入了"421陷阱":26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,…但是,從27開始算起,數(shù)字會一路飆升到幾千多,你很可能會一度認為它脫離了"421陷阱";但是,經(jīng)過上百步運算后,它還是跌了回來:27,82,41,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,182,91,
6、274,137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,
7、650,325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,…隨機01串的最長公共子序列如果從數(shù)字序列A中刪除一些數(shù)字就能得到數(shù)字序列B,我們就說B是A的子序列。例如,110是010010的子序列,但不是001011的子序列。兩個序列的"公共子序列"有很多,其中最長的那個就叫做"最長公共子序列"。隨機產(chǎn)生兩個長度為n的01序列,其中數(shù)字1出現(xiàn)的概率是p,數(shù)字0出現(xiàn)的概率是1-p。用Cp(n