現(xiàn)代光學(xué)第3章傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)

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1、第3章傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3.1光波的標(biāo)量衍射理論3.2衍射問題的頻率域分析3.3基爾霍夫衍射公式的近似3.4透鏡的變換特性3.5光學(xué)成像系統(tǒng)的空間變換特性3.6光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性及其傳遞函數(shù)3.7實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3.8相干成像和非相干成像的比較3.1光波的標(biāo)量衍射理論3.1.1光衍射的數(shù)理基礎(chǔ)1.衍射概述索末菲把“不能用反射或折射來解釋的、光線對直線光路的任何偏離”定義為衍射。衍射是波動光學(xué)的普遍現(xiàn)象，幾何光學(xué)認(rèn)為光按直線傳播是衍射理論的“短波長”近似。1818年，菲涅耳綜合惠更斯原理和干涉原理

2、，認(rèn)為次級波源是彼此相干的，由此得到惠更斯-菲涅耳原理：波前上任何一個未受阻擋的點(diǎn)，都可以看做一個次級波源，在其后空間任一點(diǎn)P處的光振動則是這些次級波源產(chǎn)生的次級波相干疊加的結(jié)果,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3.1-1)圖3.1-1惠更斯-菲涅耳原理示意圖2.亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程是討論基爾霍夫衍射積分定理的物理基礎(chǔ)。根據(jù)1.1節(jié)的知識，光波場中P點(diǎn)在t時(shí)刻的光振動用復(fù)值標(biāo)量函數(shù)u(P,t)表示，對于單色光場，有(3.1-2)式中:U(P)為光波場中P點(diǎn)的復(fù)振幅；ν為光波的時(shí)間頻率。根據(jù)電磁場理論，光波場中的每

3、一個無源點(diǎn)上，光振動u(P,t)滿足波動方程(3.1-3)式中:c為光在真空中的速度;為拉普拉斯算符。把式(3.1-2)代入式(3.1-3)，得到自由空間單色光場滿足的波動方程為(3.1-4)式中:k=2πν/c=2π/λ為波矢量的大小。該式稱為亥姆霍茲方程。這表明自由空間傳播的任何單色光波的復(fù)振幅必然滿足亥姆霍茲方程。3.格林定理格林定理是基爾霍夫衍射積分定理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。格林定理表述為設(shè)V是封閉曲面S所包圍的體積，P是空間任一點(diǎn)，U(P)和G(P)為兩個位置坐標(biāo)的任意復(fù)函數(shù)，如果U(P)、G(P)

4、及其一階、二階偏微商在S上和S內(nèi)都單值、連續(xù)，則有(3.1-5)3.1.2基爾霍夫衍射公式1.基爾霍夫積分定理為了應(yīng)用格林定理，取如圖3.1-2所示的積分面S，S包圍的體積為V。令觀察點(diǎn)P在封閉曲面S內(nèi)，選擇格林函數(shù)G為以P點(diǎn)為中心，向外發(fā)散的單位振幅的球面波函數(shù)，它在空間任一點(diǎn)P′處的復(fù)振幅為(3.1-6)圖3.1-2積分曲面的選取式中:r為P與P′間的距離。由于函數(shù)G(P′)在P點(diǎn)的值為無窮大，因此為滿足格林定理的要求，把P點(diǎn)從V內(nèi)去掉。為此，以P點(diǎn)為中心，以ε為半徑做小球面Sε，這樣在以S和Sε

5、包圍的體積V′上應(yīng)用格林定理，有(3.1-7)在V′中,G和U都滿足亥姆霍茲方程把上式代入式(3.1-7)，得到于是式(3.1-7)簡化為或(3.1-8)在Sε面上，n與r處處反向，有　　　　　　　故(3.1-9)令ε→0，則有(3.1-10)式中:Ω為Sε面對P點(diǎn)所張開的立體角。將式(3.1-10)代入式(3.1-8)得(3.1-11)2.基爾霍夫衍射公式現(xiàn)在討論無限大不透明屏幕上透光孔所引起的衍射問題。衍射裝置如圖3.1-3所示，從點(diǎn)源P0發(fā)出的單色光波，傳播并通過不透明屏S′上的一個小孔Σ，在

6、屏后的P點(diǎn)觀察。假設(shè)開孔Σ的線度、P0點(diǎn)和P點(diǎn)到孔Σ的距離遠(yuǎn)大于波長λ，P0和P到Σ上任一點(diǎn)P1的矢徑分別為r0和r。圖3.1-3平面屏衍射裝置示意圖為了應(yīng)用基爾霍夫積分定理求P點(diǎn)的復(fù)振幅，選擇包圍P點(diǎn)閉合曲面S由三部分組成：①開孔Σ部分SΣ；②屏幕后表面部分面積S1；③以P點(diǎn)為中心，半徑為R的部分球面SR。由基爾霍夫積分定理得到光場中P的復(fù)振幅為(3.1-12)1)索末菲輻射條件和SR上的積分　　對于SR面上的積分，由于基爾霍夫積分定理中積分面的選擇的任意性，可以假定R→∞，則SR為趨于無限大的半

7、球殼。考慮到U和G在SR面上都按1/R隨R的增大而減小，所以，R→∞時(shí)，在SR面上被積函數(shù)趨于零，但同時(shí)積分面的面積SR按R2增大，故不能直接認(rèn)為SR面上的積分為零。下面具體討論SR面上的積分。當(dāng)R很大時(shí)，在SR面上有(3.1-13)因此(3.1-14)式中:Ω為SR對P點(diǎn)所張開的立體角。因?yàn)?/p>

8、eikR

9、在SR上有界，所以只要滿足條件(3.1-15)在SR上的積分就等于零。我們稱式(3.1-15)為索末菲輻射條件。索末菲輻射條件在有限大小光源照明的條件下都能滿足。簡單證明如下：首先設(shè)照明光源為點(diǎn)光源，

10、由圖3.1-3可知，當(dāng)R→∞時(shí)，就SR面上光場復(fù)振幅而言，P0和P間的距離以及屏幕的影響都可以忽略不計(jì)，于是SR面上光場復(fù)振幅可近似取為將其代入式(3.1-15)等號左面得到2)基爾霍夫邊界條件及其衍射公式　　在忽略了SR面上的積分之后，要求解P點(diǎn)的復(fù)振幅，仍需要知道SΣ和S1上的光場復(fù)振幅分布U以及　　　　。為此基爾霍夫提出以下兩個邊界條件：(1)在透光孔面Σ上，光場復(fù)振幅分布U及其微商　　　　　與沒有屏幕時(shí)完全相同；(2)在屏幕的背光面上，光場復(fù)