遞推求數(shù)列的策略

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1、題型一：已知an+i-an=f(n),求a“；如果f(n)是常數(shù)函數(shù)，那么這個(gè)就是我們所學(xué)的等差數(shù)列；否則，一般的方法就是采用累加法：a2-ai=f(1);a3-a2=f(2);印￡3="3)；an+i-an=f(n);然后左邊相加等于右邊,就有an+1-ai=f(1)+f(2)+f(3)+......+f(n),由此便有了的通項(xiàng)公式。這種題要注意的一點(diǎn)就是n的范圍，上血所寫的只是一個(gè)大體思路，具體的題目中，一定要明確n的范圍。有時(shí)候，第一個(gè)式子不是a2-a1=f(1),而是a3-a2=f(1)等等，這一點(diǎn)是學(xué)生最容易犯錯(cuò)，也是最容易失分的地方。練手：已知an+Gn+a”ai=1,求自己做，

2、然后從這里往后反選得到答案：同理，當(dāng)我們遇到形如an+1/an=f(n)的遞推關(guān)系的時(shí)候，就采用累乘法，相信各位都沒問題，當(dāng)然了，如果f(n)是常數(shù)函數(shù)，那就是我們的等比數(shù)列。所以求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可以采川這種累乘法。同樣的，你要注意n的取值范圍。題型二：已知Aan+i+Ban+C=O,其中A、B、C都是常數(shù)，求a.。遇到這種題tl,一般的方法就是將Z化成一個(gè)新的等比數(shù)列。除非你推理能力特別強(qiáng),建議你不要直接化。最好采用“先斬后奏”的方式，因?yàn)椴豢煞裾J(rèn)，如果A#B,那么這個(gè)式子就一定可以化成下而的形式：A(an+i+k)=-B(an+k)o你先寫成這種形式，然后將其展開，對(duì)應(yīng)著題H所給

3、的遞推關(guān)系，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，你就可以把k給求出來，那么數(shù)列｛an+k｝就是一個(gè)等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式就能求出來，a.的通項(xiàng)公式也就隨Z而來。我們可以看出來，如果A=-B,那么這個(gè)遞推關(guān)系是不可能化成等比數(shù)列的。實(shí)際上,若A=-B,那么她就變成我們的等差數(shù)列了。還要注意的一種特殊情況就是A=B的時(shí)候，這實(shí)際上就是一個(gè)等和數(shù)列，從這個(gè)問題我們可以看到，等和數(shù)列也可以化成一個(gè)等比數(shù)列。對(duì)于這一種題型，也可以這樣將之化成等比數(shù)列：Aan+i+Ban+C=OA^n+Ban-i+C=0兩邊相減就有:A(an+i-an)+B(an-an.i)=O,如此就化成了一個(gè)等比數(shù)列，具體哪種,看口己喜歡。練手題：在數(shù)列

4、｛an沖,31=1,an+i=2an+1(n>2),求an。答案(請(qǐng)反選后面):a題型三：已知Aan+i+Ban+Can-i+D=O,K中A、B、C、D都為常數(shù),求a.；這種題目和上而的是一樣，你他們一定可以化成下而的形式：Aan+i+Ean=k(Aan+Ean.i)同樣的展開，求出對(duì)應(yīng)系數(shù)，然后你就可以求出數(shù)列｛Aan+Ean」｝的通項(xiàng)公式，然后再利用題型二的方法。實(shí)際上就是一種逐步化簡(jiǎn)的方法，就好像立休幾何里血血垂直化成線線垂直-?般。同樣的原則，注意n的范圍。題型四：關(guān)于f(Sn,an),求a.。也就是知道Sn和an的關(guān)系，求a“，這種題沒有統(tǒng)一的思想，一般是借助橋梁Sn-Sn-I=a

5、no如果題目中關(guān)于Sn的表達(dá)式很復(fù)雜,你也可以把S“看成一個(gè)數(shù)列，先對(duì)Sn進(jìn)行求解，然后得岀an。題型五：歸納法。說得好聽點(diǎn)，是歸納法，說得不好聽，就是猜，寫出一部分?jǐn)?shù)值，然后猜，猜了就用歸納法證明。還有一種題型，比較麻煩。很多參考室都提到利用不動(dòng)點(diǎn)的概念，不過個(gè)人認(rèn)為，利用傳統(tǒng)的方法，學(xué)生似乎接受得更快。一、一階線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形式：1心+1二兀+73）這類遞推數(shù)列可通過累加法而求得其通項(xiàng)公式（數(shù)列｛f（n）｝可求前n項(xiàng)和）.當(dāng)了3）為常數(shù)時(shí)，通過累加法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.而當(dāng)了3）為等差數(shù)列時(shí)，則2心+1=口+73）為二階等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式應(yīng)當(dāng)

6、為“=+°形式，注意與等差數(shù)列求和S=初2+加公式-?般形式的區(qū)別，后者是s,其常數(shù)項(xiàng)一定為o.2和1=或嘰這類遞推數(shù)列可通過累乘法而求得其通項(xiàng)公式（數(shù)列｛g（n）｝可求前n項(xiàng)積）.當(dāng)E為常數(shù)時(shí)，用累乘法可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.3耳+1=0兀+必?/為常數(shù),這類數(shù)列通?？赊D(zhuǎn)化為兀+1+刀=°（“+刀），或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式忑+2一兀+1=@（兀+1一兀）■例］酗數(shù)列⑴中，好1，兀=2也+嗆＞2），求⑴的通項(xiàng)公式解析：解法一：轉(zhuǎn)化為兀+1+去=@（兀+P）型遞推數(shù)列.Va=211兀一―Xj-—=--—Vi+1（方n2）,.?.x,+l=2（和+1）3王2）,又再+1=2故數(shù)列円+1｝是

7、x+1=2sX=9s-1首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.???18一，即?~I解法二：轉(zhuǎn)化為"桿2~入+1二'（心+1-兀）型遞推數(shù)列.???兀二2x"l(n$2)①???和1二2心+1②②一①，得和宀嚴(yán)區(qū)-心（門$2）,故｛心+1一兀｝是首項(xiàng)為X2-XL2,公T*比為2的等比數(shù)列,即M+1一兀=2時(shí)=2Mx=2趕再用累加法得的反函數(shù)為尸212即有me寫心）的等比數(shù)列,解法三：用迭代法.耳=2和1+1=2(2和