希爾伯特空間

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1、一百年前的數學界有兩位泰斗：龐加萊和希爾伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾經在1900年的世界數學家大會上提出了二十三個著名的希爾伯特問題，指引了本世紀前五十年數學的主攻方向，不過還有一個原因呢，我想就是著名的希爾伯特空間了。希爾伯特空間是希爾伯特在解決無窮維線性方程組時提出的概念，原來的線性代數理論都是基于有限維歐幾里得空間的，無法適用，這迫使希爾伯特去思考無窮維歐幾里得空間，也就是無窮序列空間的性質。大家知道，在一個歐幾里得空間R^n上，所有的點可以寫成為：X=（x1，x2，x3，...，xn）。那么類似的，在一個無窮維歐幾里得空間上點就是：X=（x1，x2，x3，....xn，

2、.....），一個點的序列。歐氏空間上有兩個重要的性質，一是每個點都有一個范數（絕對值，或者說是一個點到原點的距離），

3、

4、X

5、

6、^2=∑xn^2，可是這一重要性質在無窮維時被破壞了：對于無窮多個xn，∑xn^2可以不存在（為無窮大）。于是希爾伯特將所有∑xn^2為有限的點做成一個子空間，并賦以X*X'=∑xn*xn'作為兩點的內積。這個空間我們現在叫做l^2，平方和數列空間，這是最早的希爾伯特空間了。注意到我只提了內積沒有提范數，這是因為范數可以由點與自身的內積推出，所以內積是一個更加強的條件，有內積必有范數，反之不然。只有范數的空間叫做Banach空間，（以后有時間再慢慢講:-）。如果光是用

7、來解決無窮維線性方程組的話，泛函就不會被稱為現代數學的支柱了。Hilbert空間中我只提到了一個很自然的泛函空間：在無窮維歐氏空間上∑xn^2為有限的點。這個最早的Hilbertspace叫做l^2（小寫的l上標2，又叫小l2空間），非常類似于有限維的歐氏空間。數學的發(fā)展可以說是一部抽象史。最早的抽象大概是一個蘋果和一頭牛在算術運算中可以都被抽象為“一”，也就是“數學”本身的起源（脫離具體物體的數字運算）了，而Hilbertspace理論發(fā)展就正是如此：“內積+線性”這兩個性質被抽象出來，這樣一大類函數空間就也成為了Hilbertspace。單位閉區(qū)間上所有平方可積的實函數（就是說f（x）的平

8、方在[0，1]上的積分存在且有限）按照函數的加法和數乘成為一個線性空間，然后我們定義內積如下：=∫

9、f*g

10、dx，范數‖f‖=根號=根號∫（f）^2dx。容易驗證它們滿足內積和范數的幾個公理（有興趣的同學可以隨便翻翻任何一本泛函書）。這樣把（平方可積）函數看作一個個的點，由函數線性運算和以上定義的內積就構成一個函數空間，叫做L^2（大L2空間）。經過一些推理以后，可以證明（約化后的）L^2空間等價于小l^2空間（這個等價是指一種完全保留線性運算和內積的一一映射，我在這里就不具體講了）。由于這個性質證起來簡單，所以一般的泛函教科書都沒有怎么重點提這個定理?？墒菍ξ叶?，它卻是

11、最有啟發(fā)性的定理之一。這個定理我認為是繼笛卡爾發(fā)明了坐標系把幾何和代數聯(lián)系起來以后這方面最偉大的成就，因為有了這個定理，我們就可以真正把一個函數也看作是某個空間里的一個點，而且在這個空間里也有距離：ρ（f，g）=‖f-g‖，有內積用來定出基，也就是坐標系（L^2的坐標系有很多種，最出名和常用的是三角函數系），換一句話說，我們可以用幾何的工具來研究一族函數的性質了。說了這么半天，恐怕很多人還不知道為什么這們學科叫做*泛函*分析。什么是函數?最狹義的函數恐怕就是從實數（R^1）到實數的映射了?，F在我們把定義域擴展為所有Hilbertspace上的點（經常本身就是一個函數了，象L^2），值域不變仍然

12、為實數，這樣的映射就是所謂的泛函數簡稱泛函了。就像函數在實數理論里面占的地位一樣，泛函在整個泛函分析里面也起到舉足輕重的作用。最簡單而又不太trivial的實函數大概就是線性函數了，同樣的，泛函分析也從線性泛函講起.（球星是個例外，我當時被迫從非線性泛函課開始，那個飛機坐的...）實數上有多少線性函數呢?無窮多?當然是:-），那么有多么無窮多?我們知道所有線性實函數都具有這種形式：f（x）=kx，k是一個實數。而且反過來說，不同的k都對應著一個不同的線性實函數。這樣我們就有了一個從R^1上所有線性實函數到R^1自身的一一對應。也就是說，這個函數空間和R^1自身等價。對于Hilbertspace

13、也有類似的結論：一個Hilbertspace的對偶空間（就是所有它的線性連續(xù)泛函組成的空間）等價于它自身，進一步，所有的線性連續(xù)泛函I（f）:H--->R可以表示成為內積的形式:I（f）=forsomeg*inH。（對了在這里再重新提一下，常用的平方可積函數空間L^2的內積是積分的形式:∫f*g，f，g∈L^2，所以所有的線性連續(xù)泛函就都是帶一個因子g的積分了.）這個Hilbertsp