烏鴉和狐貍的故事

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1、第六模塊數(shù)列第二十七講數(shù)列的概念與簡單表示法回歸課本1.數(shù)列的定義數(shù)列是按照一定順序排列著的一列數(shù),在函數(shù)意義下,數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù),即當(dāng)自變量從小到大的順序依次取值時(shí),所對應(yīng)的一列函數(shù)值,其圖象是相應(yīng)的曲線(或直線)上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn),數(shù)列的一般形式為a1,a2,…,an,…,通常簡記為{an},其中an是數(shù)列{an}的第n項(xiàng),也叫做通項(xiàng).2.數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號n之間的關(guān)系,如果可以用一個(gè)式子an=f(n)來表示,我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列

2、的最佳載體,因此確定一個(gè)數(shù)列是否有通項(xiàng)公式,以及如何求出這個(gè)通項(xiàng)公式,是解決數(shù)列問題的關(guān)鍵.求通項(xiàng)公式的常用方法有:觀察分析法?累差法?累商法和公式法等.3.數(shù)列的表示方法從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列的表示方法有:列表法?圖象法?解析法.4.數(shù)列的分類(1)按照項(xiàng)數(shù)是有限還是無限來分:有窮數(shù)列?無窮數(shù)列.(2)按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系來分:遞增數(shù)列?遞減數(shù)列?常數(shù)列?擺動(dòng)數(shù)列.(3)按照任何一項(xiàng)的絕對值是否都小于某一正數(shù)來分:有界數(shù)列?無界數(shù)列.5.數(shù)列an與Sn之間的關(guān)系Sn=a1+a2+a3+…+an,an=6.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第2項(xiàng)起

3、(或某一項(xiàng))任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.等差數(shù)列與等比數(shù)列是最基本的遞推數(shù)列,遞推數(shù)列的基本問題是由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.考點(diǎn)陪練1.(2010·安徽)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為()A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=82-72=15.答案:A2.下列說法正確的是()A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列的第k項(xiàng)為D.數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n}解析:根據(jù)數(shù)列的定義與

4、集合定義的不同可知A,B不正確;D項(xiàng){2n}中的n∈N*,故不正確;C中an=∴ak=答案:C3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,那么這個(gè)數(shù)列是()A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列D.常數(shù)列解析:解法一:∵an+1-an=,∴an+1>an,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.答案:A4.設(shè)數(shù)列{an}中,a1=1,n≥2,都有a1?a2?a3?…?an=n2,則a3+a5=()分析:從理論上說,如果已知數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式可以求出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng),但當(dāng)序號較大時(shí),利用遞推公式來求是很麻煩的,從這一點(diǎn)來說數(shù)列的通項(xiàng)公式要比遞推公式更為深刻,當(dāng)序號較小時(shí)可用解法二,如果由遞推公式

5、能很快地推導(dǎo)出通項(xiàng)公式,還是用通項(xiàng)公式來求解,這樣能使得計(jì)算簡捷?準(zhǔn)確.解析:解法一:由已知a1?a2?a3?…?an=n2得an=,n≥2,n∈N*,將a1·a2·…·an-1=(n-1)2,n≥3,n∈N*,代入an得an=(n≥3).當(dāng)n=2時(shí)適合此式,當(dāng)n=1時(shí)不適合此式.∴an=∴a3+a5=,∴選A.解法二:當(dāng)n=2時(shí),a1?a2=4,∴a2=4.當(dāng)n=3時(shí),a1?a2?a3=9,∴a3=當(dāng)n=4時(shí),a1?a2?a3?a4=16,∴a4=當(dāng)n=5時(shí),a5=,∴a3+a5=,∴選A.答案:A5.數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,當(dāng)n∈N*時(shí),an+2等于anan+

6、1的個(gè)位數(shù),若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為243,則k=()A.61B.62C.63D.64解析:依題意,得a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,…,數(shù)列{an}除第一項(xiàng)外,其余的項(xiàng)形成以6為周期的數(shù)列,且從a2到a7這六項(xiàng)的和等于24.注意到243=1+24×10+2,因此k=1+6×10+1=62.故選B.答案:B類型一由前n項(xiàng)探索數(shù)列的通項(xiàng)公式解題準(zhǔn)備:觀察法就是觀察數(shù)列的特征,找出各項(xiàng)共同規(guī)律,橫看“各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)”,縱看“各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系”,從而確定出數(shù)列的通項(xiàng).利

7、用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),要抓住以下幾個(gè)特征:(1)分式中分子?分母的特征;(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;(3)拆項(xiàng)后的特征;(4)各項(xiàng)符號特征等,并對此進(jìn)行歸納?聯(lián)想.注意:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)形式不一定唯一.【典例1】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)1,0,1,0,…;(2)1,1,2,2,3,3,…;(3),….(3)∵奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,故選用(-1)n確定符號.由觀察知分子為2n,而分母為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積即(2n-1)(2n+1).∴an=(-1)n[反思感悟]由給出的前n項(xiàng)求