矩估計

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1、3.矩估計法　矩估計法是求估計量的最古老的也是最直觀的方法.它的基本思想就是用樣本的平均值去估計總體的數(shù)學(xué)期望E(X),用樣本的統(tǒng)計量???????????去估計總體的方差D(X),如下圖所示：　??????????????構(gòu)成???????????????????矩估計法樣本(X1,X2,…,Xn)（統(tǒng)計量：樣本均值（總體數(shù)學(xué)期望的估計量）???????????????構(gòu)成????????????????????????????????矩估計法樣本(X1,X2,…,Xn)（統(tǒng)計量：樣本方差）（總體方差的估計量）例3.7.1根據(jù)抽樣調(diào)查,

2、以下是某班10名同學(xué)”高等數(shù)學(xué)”考試成績,試用矩估計法估計總體的均值和標準差.????63??82??94??71??63??73??92??79??84??85解.設(shè)全班的”高等數(shù)學(xué)”的成績?yōu)閄，則其平均成績?yōu)镋(X),標準差為.由矩估計法公式有??????????????=(63+82+94+71+63+73+92+79+84+85)/10=78.6,??????????????,?????.　例3.7.2設(shè)總體X在[μ-ρ,μ+ρ]上服從均勻分布,μ、ρ未知,（X1,X2,…,Xn）是一個樣本,試估計參數(shù)μ和ρ.解.因為總體X服從[

3、μ-ρ,μ+ρ]上的均勻分布,而均勻分布的數(shù)學(xué)期望????????E(X)=(μ+ρ+μ-ρ)/2=μ,方差???D(X)=(μ+ρ-μ+ρ)2/12=ρ2/3.由上述公式估計:????????????????4.極大似然估計法　在講解極大似然估計法之前，我們從一個例子入手，了解極大似然估計法的直觀想法:設(shè)甲箱中有99個白球，1個黑球；乙箱中有1個白球，99個黑球．現(xiàn)隨機取出一箱，再從中隨機取出一球，結(jié)果是黑球，這時我們自然更多地相信這個黑球是取自乙箱的．因此極大似然估計法就是要選取這樣的數(shù)值作為參數(shù)的估計值，使所選取的樣本在被選的總體中

4、出現(xiàn)的可能性為最大.定義.若總體X的密度函數(shù)為p(x;θ1,θ2,…,θk)，其中θ1,θ2,…,θk是未知參數(shù)，(X1,X2,…,Xn)是來自總體X的樣本，稱????為θ1,θ2,…,θk的似然函數(shù)．其中x1,x2,…,xn為樣本觀測值．若有使得????成立,則稱為θj極大似然估計值(j=1,2,…,k).特別地,當k=1時,似然函數(shù)為:?????????????????根據(jù)微積分中函數(shù)極值的原理，要求使得上式成立，只要令???其中L(θ)=L(x1,x2,…,xn;θ).??????????????????解之，所得解為極大似然估計，

5、上式稱為似然方程.????又由于與的極值點相同,所以根據(jù)情況,也可以求出的解作為極大似然估計.若總體X為離散型隨機變量，其概率分布為:??????P(X=x)=p(x;θ1,θ2,…,θk)其中θ1,θ2,…,θk為未知參數(shù)，同樣可以寫出似然函數(shù)及似然方程.例3.7.3已知總體X服從泊松分布???????(λ>0,?x=0,1,…)?(x1,x2,…,xn)是從總體X中抽取的一個樣本的觀測值，試求參數(shù)λ的極大似然估計.解．參數(shù)λ的似然函數(shù)為????兩邊取對數(shù):??????上式對λ求導(dǎo),并令其為0,即????????從而得????即樣本均值

6、是參數(shù)λ的極大似然估計.例3.7.4設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，試求μ及σ2的極大似然估計.解．μ,σ的似然函數(shù)為???似然方程組為?????????????解之得:????,?????????????.因此及分別是μ及σ2的極大似然估計.上面我們介紹了兩種求估計量的方法：矩估計法和極大似然估計法.從矩估計法公式我們得到,對正態(tài)總體N(μ,σ2)，未知參數(shù)μ的矩估計為,σ2的矩估計為；而由例3.7.4,μ,σ2的極大似然估計也分別是與.一般地，在相當多的情況下，矩估計與極大似然估計是一致的，但也確有許多情形，矩估計法和極大似然估計

7、法給出的估計是不同的.誰優(yōu)誰劣?我們可以用估計量的優(yōu)劣標準進行評價．除此之外，亦可以根據(jù)問題的實際意義進行判定.