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1、3.矩估計(jì)法 矩估計(jì)法是求估計(jì)量的最古老的也是最直觀的方法.它的基本思想就是用樣本的平均值去估計(jì)總體的數(shù)學(xué)期望E(X),用樣本的統(tǒng)計(jì)量???????????去估計(jì)總體的方差D(X),如下圖所示： ??????????????構(gòu)成???????????????????矩估計(jì)法樣本(X1,X2,…,Xn)（統(tǒng)計(jì)量：樣本均值（總體數(shù)學(xué)期望的估計(jì)量）???????????????構(gòu)成????????????????????????????????矩估計(jì)法樣本(X1,X2,…,Xn)（統(tǒng)計(jì)量：樣本方差）（總體方差的估計(jì)量）例3.7.1根據(jù)抽樣調(diào)查,
2、以下是某班10名同學(xué)”高等數(shù)學(xué)”考試成績(jī),試用矩估計(jì)法估計(jì)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.????63??82??94??71??63??73??92??79??84??85解.設(shè)全班的”高等數(shù)學(xué)”的成績(jī)?yōu)閄，則其平均成績(jī)?yōu)镋(X),標(biāo)準(zhǔn)差為.由矩估計(jì)法公式有??????????????=(63+82+94+71+63+73+92+79+84+85)/10=78.6,??????????????,?????. 例3.7.2設(shè)總體X在[μ-ρ,μ+ρ]上服從均勻分布,μ、ρ未知,（X1,X2,…,Xn）是一個(gè)樣本,試估計(jì)參數(shù)μ和ρ.解.因?yàn)榭傮wX服從[
3、μ-ρ,μ+ρ]上的均勻分布,而均勻分布的數(shù)學(xué)期望????????E(X)=(μ+ρ+μ-ρ)/2=μ,方差???D(X)=(μ+ρ-μ+ρ)2/12=ρ2/3.由上述公式估計(jì):????????????????4.極大似然估計(jì)法 在講解極大似然估計(jì)法之前，我們從一個(gè)例子入手，了解極大似然估計(jì)法的直觀想法:設(shè)甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球；乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球．現(xiàn)隨機(jī)取出一箱，再?gòu)闹须S機(jī)取出一球，結(jié)果是黑球，這時(shí)我們自然更多地相信這個(gè)黑球是取自乙箱的．因此極大似然估計(jì)法就是要選取這樣的數(shù)值作為參數(shù)的估計(jì)值，使所選取的樣本在被選的總體中
4、出現(xiàn)的可能性為最大.定義.若總體X的密度函數(shù)為p(x;θ1,θ2,…,θk)，其中θ1,θ2,…,θk是未知參數(shù)，(X1,X2,…,Xn)是來自總體X的樣本，稱????為θ1,θ2,…,θk的似然函數(shù)．其中x1,x2,…,xn為樣本觀測(cè)值．若有使得????成立,則稱為θj極大似然估計(jì)值(j=1,2,…,k).特別地,當(dāng)k=1時(shí),似然函數(shù)為:?????????????????根據(jù)微積分中函數(shù)極值的原理，要求使得上式成立，只要令???其中L(θ)=L(x1,x2,…,xn;θ).??????????????????解之，所得解為極大似然估計(jì)，
5、上式稱為似然方程.????又由于與的極值點(diǎn)相同,所以根據(jù)情況,也可以求出的解作為極大似然估計(jì).若總體X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為:??????P(X=x)=p(x;θ1,θ2,…,θk)其中θ1,θ2,…,θk為未知參數(shù)，同樣可以寫出似然函數(shù)及似然方程.例3.7.3已知總體X服從泊松分布???????(λ>0,?x=0,1,…)?(x1,x2,…,xn)是從總體X中抽取的一個(gè)樣本的觀測(cè)值，試求參數(shù)λ的極大似然估計(jì).解．參數(shù)λ的似然函數(shù)為????兩邊取對(duì)數(shù):??????上式對(duì)λ求導(dǎo),并令其為0,即????????從而得????即樣本均值
6、是參數(shù)λ的極大似然估計(jì).例3.7.4設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，試求μ及σ2的極大似然估計(jì).解．μ,σ的似然函數(shù)為???似然方程組為?????????????解之得:????,?????????????.因此及分別是μ及σ2的極大似然估計(jì).上面我們介紹了兩種求估計(jì)量的方法：矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法.從矩估計(jì)法公式我們得到,對(duì)正態(tài)總體N(μ,σ2)，未知參數(shù)μ的矩估計(jì)為,σ2的矩估計(jì)為；而由例3.7.4,μ,σ2的極大似然估計(jì)也分別是與.一般地，在相當(dāng)多的情況下，矩估計(jì)與極大似然估計(jì)是一致的，但也確有許多情形，矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)
7、法給出的估計(jì)是不同的.誰優(yōu)誰劣?我們可以用估計(jì)量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)價(jià)．除此之外，亦可以根據(jù)問題的實(shí)際意義進(jìn)行判定.
