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1、本節(jié)內(nèi)容提要一、微分的定義三、微分的幾何意義四、微分公式和運算法則五、微分在近似計算中的應(yīng)用二、可微的充要條件第六節(jié)函數(shù)的微分及其應(yīng)用本節(jié)重點：函數(shù)的微分定義，計算本節(jié)難點：函數(shù)的微分定義教學方法：啟發(fā)式教學手段：多媒體課件和面授講解相結(jié)合教學課時：4課時一、微分的定義前面我們學習了導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)即函數(shù)的變化率它表示函數(shù)相對于自變量變化的快慢程度。在微分學中，很多情形下要研究函數(shù)的增量，特別是當自變量的增量很小時首先，看下面例子例1：設(shè)一正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長從變化到(如圖），求薄片面積的改變量。解：此薄片在溫度變化前后的面積分別為故薄片面積的改變量為由兩部分組成：
2、一部分是的線性函數(shù)（圖中有斜線的部分的面積）；另一部分是（圖中有網(wǎng)格線的小正方形部分的面積）.當時，第二部分是一個比高階的無窮小，即，因此，若邊長的改變很微小，即很小時，面積的改變量就可用第一部分來表示，而且越小，其近似程度就越好，即拋開基具體意義，抽象一下，可歸納為：2）分為二部分，一是即的線函數(shù)，另一部分是當時比高階的無窮小。3）可以用第一部分A來近似表示函數(shù)的增量，這即是微分的概念1）給自變量的取值的增量，相應(yīng)有函數(shù)的增量定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可以表示為其中A是不依賴于的常數(shù)，而是比高階的無窮小，則稱函數(shù)在點是可微的，而叫函數(shù)y=f(x
3、)在點相應(yīng)于自變量增量的微分，記作例2：求函數(shù)在x=1處的微分解：上式由兩部分組成，一是，另一部分是的高階無窮小，（當）故在x=1處的微分為返回二．可微的充要條件（可微與可導(dǎo)關(guān)系）定理：函數(shù)在點處可微的充分且必要條件是函數(shù)f(x)在點處可導(dǎo)，并且(函數(shù)在一點處可微分與可導(dǎo)是等價的)證明：設(shè)涵數(shù)y=f(x)在處可微，由微分定義有兩邊同除以有當時，取極限，有反之：設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，即存在，由極限與無窮小的關(guān)系；上式可以表示為，則即故f(x)在點處可微，且一般地，把自變量增量稱為自變量的微分，記作即，則函數(shù)y=f(x)的微分又可以記作：，于是即函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)
4、的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)又稱為“微商例3：求在x=1,時的增量及微分解：代入x=1,返回三、微分的幾何意義函數(shù)y=f(x)的圖形為一條曲線,對于，曲線上有一個確定的點，當x有微小增量時，得到曲線上另一點，直線MT是過M點的曲線的切線，由圖可即當是曲線上點的縱坐標的增量時，dy就是曲線的切線上點的縱坐標的相應(yīng)增量，當很小時,比小得多，因此在點M的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段返回1.由微分定義,若要求函數(shù)的微分，只需計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的dx,因此根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)的運算法則，即可得到微分的基本公式和運算法則，歸納總結(jié)如下：四、微分公式和運算法則2.函數(shù)的和、差、積、商
5、的微分法則為方便表示，記（1）d(u+v)=du+dv(2)d(cu)=cdu（c為常數(shù)）(3)d(uv)=udv+vdu(4)3.復(fù)合函數(shù)的微分法則:設(shè)則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為而故由此可見，不論U是自變量，還是中間變量，微分形式保持不變，這一性質(zhì)叫做微分形式的不變性。例1．設(shè)求dy解法一：解法二：例2.設(shè)求dy解:例3:設(shè),求及解：例6.在下列等式左端的括號內(nèi)填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立(1)(2)解（1）因為故又因為任意常數(shù)的微分d(c)=0故(c為任意常數(shù))（2）因為故(c為任意常數(shù))返回五、微分在近似計算中的應(yīng)用在工程問題中，常會遇到一些復(fù)雜的計算公式，如果直接用這些公式進行計
6、算，往往費時費力，而利用微分則可把一些復(fù)雜的計算公式用簡單的近似公式來代替。由微分定義當很小時越小，近似程度越好。上式還可表示為令則有：特別地當當很小時可以推得：（1）（2）（3）（4）(x為弧度)（5）(x為弧度)例1）計算的近似值解：設(shè)由公式例2）計算的近似值解返回
