本節(jié)內(nèi)容提要.ppt

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1、本節(jié)內(nèi)容提要一、微分的定義三、微分的幾何意義四、微分公式和運(yùn)算法則五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用二、可微的充要條件第六節(jié)函數(shù)的微分及其應(yīng)用本節(jié)重點(diǎn)：函數(shù)的微分定義，計(jì)算本節(jié)難點(diǎn)：函數(shù)的微分定義教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)手段：多媒體課件和面授講解相結(jié)合教學(xué)課時(shí)：4課時(shí)一、微分的定義前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)即函數(shù)的變化率它表示函數(shù)相對(duì)于自變量變化的快慢程度。在微分學(xué)中，很多情形下要研究函數(shù)的增量，特別是當(dāng)自變量的增量很小時(shí)首先，看下面例子例1：設(shè)一正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長(zhǎng)從變化到(如圖），求薄片面積的改變量。解：此薄片在溫度變化前后的面積分別為故薄片面積的改變量為由兩部分組成：

2、一部分是的線性函數(shù)（圖中有斜線的部分的面積）；另一部分是（圖中有網(wǎng)格線的小正方形部分的面積）.當(dāng)時(shí)，第二部分是一個(gè)比高階的無(wú)窮小，即，因此，若邊長(zhǎng)的改變很微小，即很小時(shí)，面積的改變量就可用第一部分來(lái)表示，而且越小，其近似程度就越好，即拋開(kāi)基具體意義，抽象一下，可歸納為：2）分為二部分，一是即的線函數(shù)，另一部分是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小。3）可以用第一部分A來(lái)近似表示函數(shù)的增量，這即是微分的概念1）給自變量的取值的增量，相應(yīng)有函數(shù)的增量定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可以表示為其中A是不依賴于的常數(shù)，而是比高階的無(wú)窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫函數(shù)y=f(x

3、)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作例2：求函數(shù)在x=1處的微分解：上式由兩部分組成，一是，另一部分是的高階無(wú)窮小，（當(dāng)）故在x=1處的微分為返回二．可微的充要條件（可微與可導(dǎo)關(guān)系）定理：函數(shù)在點(diǎn)處可微的充分且必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并且(函數(shù)在一點(diǎn)處可微分與可導(dǎo)是等價(jià)的)證明：設(shè)涵數(shù)y=f(x)在處可微，由微分定義有兩邊同除以有當(dāng)時(shí)，取極限，有反之：設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，即存在，由極限與無(wú)窮小的關(guān)系；上式可以表示為，則即故f(x)在點(diǎn)處可微，且一般地，把自變量增量稱為自變量的微分，記作即，則函數(shù)y=f(x)的微分又可以記作：，于是即函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)

4、的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)又稱為“微商例3：求在x=1,時(shí)的增量及微分解：代入x=1,返回三、微分的幾何意義函數(shù)y=f(x)的圖形為一條曲線,對(duì)于，曲線上有一個(gè)確定的點(diǎn)，當(dāng)x有微小增量時(shí)，得到曲線上另一點(diǎn)，直線MT是過(guò)M點(diǎn)的曲線的切線，由圖可即當(dāng)是曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，dy就是曲線的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量，當(dāng)很小時(shí),比小得多，因此在點(diǎn)M的鄰近，我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段返回1.由微分定義,若要求函數(shù)的微分，只需計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的dx,因此根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)的運(yùn)算法則，即可得到微分的基本公式和運(yùn)算法則，歸納總結(jié)如下：四、微分公式和運(yùn)算法則2.函數(shù)的和、差、積、商

5、的微分法則為方便表示，記（1）d(u+v)=du+dv(2)d(cu)=cdu（c為常數(shù)）(3)d(uv)=udv+vdu(4)3.復(fù)合函數(shù)的微分法則:設(shè)則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為而故由此可見(jiàn)，不論U是自變量，還是中間變量，微分形式保持不變，這一性質(zhì)叫做微分形式的不變性。例1．設(shè)求dy解法一：解法二：例2.設(shè)求dy解:例3:設(shè),求及解：例6.在下列等式左端的括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立(1)(2)解（1）因?yàn)楣视忠驗(yàn)槿我獬?shù)的微分d(c)=0故(c為任意常數(shù))（2）因?yàn)楣?c為任意常數(shù))返回五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用在工程問(wèn)題中，常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式，如果直接用這些公式進(jìn)行計(jì)

6、算，往往費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而利用微分則可把一些復(fù)雜的計(jì)算公式用簡(jiǎn)單的近似公式來(lái)代替。由微分定義當(dāng)很小時(shí)越小，近似程度越好。上式還可表示為令則有：特別地當(dāng)當(dāng)很小時(shí)可以推得：（1）（2）（3）（4）(x為弧度)（5）(x為弧度)例1）計(jì)算的近似值解：設(shè)由公式例2）計(jì)算的近似值解返回