李明波與四形之四.doc

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1、李明波與四邊形之四郝錫鵬提要2007年6月建筑郎李明波，對他在2004年春節(jié)期間于《李明波與四邊形之一》[1]中的研究結(jié)果，進行了調(diào)整和拓展。一、凸四邊形中的李明波關聯(lián)李明波研究的起點是如下結(jié)果：阿波羅尼定理平行四邊形兩條對角線的平方和，等于四條邊的平方和。李明波定義：四邊形的對邊和對邊、對角線和對角線，為四邊形的對應線段；四邊形對應線段中點的連線，為該組對應線段的中位線。ABCDEFGHO圖1在圖1中，李明波發(fā)現(xiàn)：只要注意到三角形的中位線平行于底邊且等于底邊的一半，那么凸四邊形ABCD四條邊的中點E、F、G、H將是平行四邊形EFGH的

2、四個頂點，根據(jù)阿波羅尼定理則有，即得。在圖2中，設M和N分別是凸四邊形ABCD的對角線BD和AC的中點，與上述結(jié)果同理，四邊形MFNH和ENGM也都是平行四邊形，用與上述相同的方法還可證得，。ABCDEFGHOMN圖2李明波將上述結(jié)果匯總?cè)缦拢憾ɡ?凸四邊形每組對應線段的平方和，等于另外兩組對應線段中位線平方和的2倍。即在圖2中有（1）（2）（3）李明波對定理1的結(jié)果進行了“二次處理”：其一是：用（1）+（2）+（3）得（4）從而得如下結(jié)果：定理2凸四邊形三組對應線段的平方和，等于三組對應線段中位線平方和的4倍。其二是：1、將（1）代入

3、到（2）+（3）之中得（5）2、將（2）代入到（1）+（3）之中得（6）3、將（3）代入到（1）+（2）之中得（7）得定理3凸四邊形兩組對應線段的平方和，等于第三組對應線段的平方和加第三組對應線段中位線平方的4倍。李明波通過觀察（5）、（6）、（7）式發(fā)現(xiàn)，這三個等式中都含有四邊形的三組對應線段，美中不足的是，都是有兩組出現(xiàn)在等式的左面，而另一組卻出現(xiàn)在等式的右面。如果把每個等式右面的一組對應線段在該等式的兩面再加一遍，則這三個等式的左面都恰是三組對應線段的平方和（稱這個和為W），此后三式的右面則應該是相等的。即。得（8）定理4凸四邊形

4、對應線段的平方和，加該組對應線段中位線平方的2倍，這三個和式彼此相等，且均為三組對應線段平方和的一半。定理4的內(nèi)容可參見圖3中的同色線段，該定理出現(xiàn)了連等的形式，這有些同正弦定理類似。ABCDEFGHOMN圖3二．阿波羅尼定理之逆阿波羅尼（Apollonius，約公元前262~190年）是古希臘偉大的幾何學家，如此說來，阿波羅尼定理已經(jīng)有大約2200年的歷史了，可是其定理的逆命題成立嗎？李明波對凸四邊形研究的一個意想不到的收獲是，他在2004年輕而易舉地證明了阿波羅尼定理的逆定理。定理5若凸四邊形的兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和，

5、則該凸四邊形是平行四邊形。證明是這樣的：定理3的三個等式之一是（5）將定理5的前提條件代入（5）式可得，即知該凸四邊形的兩條對角線的中點重合，而對角線互相平分的凸四邊形必是平行四邊形。故定理5得證。李明波就此事詢問過侯明輝，侯明輝說：阿波羅尼定理基本上是大家共知的事情，但是其逆定理卻從未見到過。李明波向侯明輝說明了自己的證明方法。三、評述本文介紹了關于凸四邊形的李明波關聯(lián)，其實，我們可以從中挑揀出一些非常精彩的結(jié)果。1、李明波雙十定理凸四邊形兩條對角線的平方和，等于兩組對邊中位線平方和的2倍。見圖4。1）李明波雙十定理，其實是定理1的三

6、條結(jié)論之一。之所以稱它為雙十定理，是因為該定理所描述的是兩條交叉十字線之間的數(shù)量關系。（1）ABCDEFGHO圖42）李明波雙十定理，公式中只含4個量，其內(nèi)容簡潔含概廣泛，因為它對任意的凸四邊形都成立。相比之下，拖勒密定理[2]就煩瑣了，拖勒密定理只是針對圓內(nèi)接四邊形而言的，而且其公式所牽涉的量就有6個。另外，當該凸四邊形是平行四邊形時，李明波雙十定理顯然會導致文首所提及的阿波羅尼定理，即阿波羅尼定理是李明波雙十定理的特例。3）李明波雙十定理，所涉及的4條線段是重要的，因為李明波用這4條線段確定出了凸四邊形的面積，并給出了優(yōu)美的公式，我

7、們以后會寫出專題予以介紹。4）李明波雙十定理，當凸四邊形有兩個頂點合并成一點時，凸四邊形變成了三角形，原來的對角線成了三角形的兩條邊，這時定理依然成立，即變?yōu)槔蠲鞑ㄓ陚愣ɡ砣切蝺蛇叺钠椒胶?，等于第三邊上面的中位線和中線平方和的2倍。即在圖5中，有（9）ABCD李明波雨傘定理EFO圖5（1）就用3個量解三角形而言，李明波雨傘定理和余弦定理異曲同工，而且李明波雨傘定理并不用牽涉三角函數(shù)。（2）李明波雨傘定理是優(yōu)美的，不僅因為它是一個關于凸四邊形定理的一種極限狀態(tài)，還因為該定理等式兩面的式子都是對稱式，而與李明波雨傘定理等價的阿波羅尼中線定

8、理[1]，就不具有這種兩面對稱性。（3）李明波雨傘定理非常便于記憶：三角形傘型外部線段的平方和，等于內(nèi)部線段平方和的2倍。2、李明波田野定理凸四邊形對邊的平方和加該組對邊中位線平方的2倍，與另組對邊的這種對