2、LAB將采用不同的算法來求解。一．恰定方程組恰定方程組由n個未知數(shù)的n個方程構(gòu)成，方程有唯一的一組解，其一般形式可用矩陣，向量寫成如下形式：Ax=b其中A是方陣，b是一個列向量；在線性代數(shù)中，最常用的方程組解法有：（1）利用Cramer公式來求解法；（2）利用矩陣求逆解法，即x=A-1b；（3）利用Gaussian消去法；（4）利用Lu法求解。一般來說，對維數(shù)不高，條件數(shù)不大的矩陣，上面四種解法所得的結(jié)果差別不大。前三種解法的真正意義是在其理論上，而不是實(shí)際的數(shù)值計(jì)算。MATLAB中，出于對算法穩(wěn)定性的考慮，行列式及逆的計(jì)算大都在Lu分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行。在MATLAB中，求解這類方程組的命
3、令十分簡單，直接采用表達(dá)式：x=Ab。在MATLAB的指令解釋器在確認(rèn)變量A非奇異后，就對它進(jìn)行Lu分解，并最終給出解x；若矩陣A的條件數(shù)很大，MATLAB會提醒用戶注意所得解的可靠性。如果矩陣A是奇異的，則Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩陣A接近奇異時，MATLAB將給出警告信息；如果發(fā)現(xiàn)A是奇異的，則計(jì)算結(jié)果為inf，并且給出警告信息；如果矩陣A是病態(tài)矩陣，也會給出警告信息。此外還要注意：在求解方程時，盡量不要用inv(A)*b命令，而應(yīng)采用Ab的解法。因?yàn)楹笳叩挠?jì)算速度比前者快、精度高，尤其當(dāng)矩陣A的維數(shù)比較大時。另外，除法命令的適用行較強(qiáng)，對于非方陣A，也能給出最
4、小二乘解。二．超定方程組對于方程組Ax=b，A為n×m矩陣，如果A列滿秩，且n>m。則方程組沒有精確解，此時稱方程組為超定方程組。線性超定方程組經(jīng)常遇到的問題是數(shù)據(jù)的曲線擬合。對于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=Ab）來尋求它的最小二乘解；還可以用廣義逆來求，即x=pinv(A),所得的解不一定滿足Ax=b，x只是最小二乘意義上的解。左除的方法是建立在奇異值分解基礎(chǔ)之上，由此獲得的解最可靠；廣義逆法是建立在對原超定方程直接進(jìn)行householder變換的基礎(chǔ)上，其算法可靠性稍遜與奇異值求解，但速度較快；例子：求解超定方程組A=[2-13;31-5;4-11;13-13]A
5、=2-1331-54-1113-13b＝[303-6]’;rank(A)ans=3x1=Abx1=1.00002.00001.0000x2=pinv(A)*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.13320可見x1并不是方程Ax=b的精確解，用x2=pinv(A)*b所得的解與x1相同。一．欠定方程組欠定方程組未知量個數(shù)多于方程個數(shù)，但理論上有無窮個解。MATLAB將尋求一個基本解，其中最多只能有m個非零元素。特解由列主元qr分解求得。例子：解欠定方程組A＝[1-211;1-21-1;1-215]A=1-2111
6、-21-11-21-11-215b=[1-15]’x1=AbWarning:Rankdeficient,rank=2tol=4.6151e-015x1=0-0.000001.0000x2=pinv(A)*bx2=0-0.00000.00001.0000四．方程組的非負(fù)最小二乘解在某些條件下，所求的線性方程組的解出現(xiàn)負(fù)數(shù)是沒有意義的。雖然方程組可以得到精確解，但卻不能取負(fù)值解。在這種情況下，其非負(fù)最小二乘解比方程的精確解更有意義。在MATLAB中，求非負(fù)最小二乘解常用函數(shù)nnls，其調(diào)用格式為：（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解過程被限制在x的條件下；（
7、2）X=nnls(A,b,TOL)指定誤差TOL來求解，TOL的默認(rèn)值為TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩陣的－1范數(shù)越大，求解的誤差越大；（3）[X,W]=nnls(A,b)當(dāng)x(i)=0時，w(i)<0；當(dāng)下x(i)>0時，w(i)0,同時返回一個雙向量w。例子：求方程組的非負(fù)最小二乘解A=[3.4336-0.52380.6710-0.52383.2833-0.73020.6710-0.73024.
