§7.循環(huán)群7.1例子7.2定義7.3基本定理7.4怎樣研究代數(shù)系統(tǒng).ppt

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1、§7．循環(huán)群7.1例子7.2定義7.3基本定理7.4如何研究代數(shù)系統(tǒng)7.1例子例1、n次分園域例2、整數(shù)加群Z．啟示：例1群的元都是G的某一個(gè)固定元a的乘方。例2也是,這個(gè)群的全體的元就都是１的乘方．這一點(diǎn)，假如把G的代數(shù)運(yùn)算不用＋而用“”來(lái)表示，就很容易看出．我們知道１的逆元是－１．假定m是任意正整數(shù)，那么這樣G的不等于零的元都是１的乘方．但０是G的單位元，照定義定義若一個(gè)群G的每一個(gè)元G都是的某一個(gè)固定元a的乘方，我們就把G叫做循環(huán)群；我們也說(shuō)，G是由a元所生成的，并且用符號(hào)來(lái)表示．a(chǎn)叫做G的一個(gè)生成元。7.2定義問(wèn)題:a的任意乘方屬于G嗎?.....，它到底包含多少個(gè)互異的元

2、素?我們?cè)倥e一個(gè)重要的例．例3G包含模n的n個(gè)剩余類(lèi)．我們要規(guī)定一個(gè)G的代數(shù)運(yùn)算,我們把這個(gè)代數(shù)運(yùn)算叫做加法，并用普通表示加法的符號(hào)來(lái)表示,規(guī)定：……（1）首先,必須證明這樣規(guī)定的“＋”不會(huì)產(chǎn)生歧義（復(fù)習(xí)等價(jià)類(lèi)及剩余類(lèi)）。，那，照我們的規(guī)定：……（2）如果它們的右端不一樣：，那“＋”就不是一種代數(shù)運(yùn)算了。我們將證明這種情形不會(huì)發(fā)生?！?）……（2）（3）（4）所以對(duì)于這個(gè)加法來(lái)說(shuō)G作成一個(gè)群．這個(gè)群叫做模n的剩余類(lèi)加群,用。以n=4介紹的乘法表7.3基本定理定理:假定G是一個(gè)由元a所生成的循環(huán)群，那么G的構(gòu)造完全可以由a的階來(lái)決定：(1)如果，那么(2)，那么例4設(shè)

3、，那么設(shè)，那么現(xiàn)在回答:循環(huán)群，包含多少個(gè)互異的元素?…….它們和上面的兩種循環(huán)群的例子一致．證明分兩種情況(1)第一個(gè)情形：a的階無(wú)限。構(gòu)造映射，1)…….2)………3)………4)………所以(2)第二種情形：a的階是n.定義映射:，首先,必須證明映射的合理性;其次,1)…….2)………3)………4)………所以7.4如何研究代數(shù)系統(tǒng)I.分類(lèi):同構(gòu)的分成同一類(lèi),存在及數(shù)量II.每一類(lèi)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)III.表示:對(duì)于循環(huán)群的存在問(wèn)題，數(shù)量問(wèn)題，構(gòu)造問(wèn)題都已能解答，循環(huán)群已完全在我們的掌握之中．這一節(jié)的研討是近世代數(shù)的研討的一個(gè)縮影．在近世代數(shù)里，不管是在群論里還是在其它部門(mén)里，我們研究一種

4、代數(shù)系統(tǒng)就是要解決這一種系統(tǒng)的存在問(wèn)題，數(shù)量問(wèn)題和構(gòu)造問(wèn)題．假如我們對(duì)于這三個(gè)問(wèn)題能得到如同我們對(duì)于循環(huán)群所得到的這樣完美的解答，我們的目的就算達(dá)到了．作業(yè):P61:3-5