2、封閉即可例、設(shè)G為群，H與K是G的子群證明：H∩K是G的子群證：1）非空由于H與K是子群e∈H且e∈Ke∈H∩K2)運算封閉?a,b∈H∩Kab∈H∩K3)逆元存在?a∈H∩Ka∈Ha-1∈Ha∈Ka-1∈Ka-1∈H∩K對于H∪K能否構(gòu)成G的子群？要有條件：當(dāng)且僅當(dāng)H?K或K?H例、設(shè)G為群，令C={a
3、a∈G且?x∈G有ax=xa}證明C是G的子群即群中與任何元素可交換的元素構(gòu)成證：1）非空?x∈G由e∈Gex=xee∈G2)運算封閉?a,b∈C有(ab)x=a(bx)=a(xb)=(ax)b=x(ab)ab∈C3)逆元存在?a∈C由于ax=xa?x∈G由a-1∈Ga-1(ax)a-1
4、=a-1(xa)a-1即xa-1=a-1xa-1∈C稱C為G的中心如果G是可交換群,則C=G對于非交換群則C={e}例、設(shè)G是群對于任意的a∈G令S={an
5、n∈Z}證明S是G的子群證：按判定定理二來判斷對任意的an,am∈San(am)-1=an(a-1)m=an-mn-m∈Z所以an-m∈S如果a的階是有限的（為r)則S={a,a2,a3,…ar}在klein四元群中={e}={a,e}={b,e}={c,e}特別地：當(dāng)群G的階為素數(shù)時存在元素a生成的子群=G由a的各次冪構(gòu)成的子群稱為由a生成的子群，記為例：中由<2>所生成的子群為<{2k
6、
7、k∈Z},+>實際為<{2k
8、k∈Z},+>在中由<2>所生成的子群因為20=0,21=2,22=4,23=0<2>=<{0,2,4},+6>?eabceeabcaaecbbbceaccbae例：有限階是循環(huán)群因為0=101=112=123=130=301=332=323=31生成元為1或3設(shè)a是生成元?n∈Z4n=ak=kamod4取n=1有1=kamod4即有s使4s+ka=1可得出a與4互質(zhì)(a,4)=1反之（a，4）=1互質(zhì)則有4s+ta=11=tamod41=atmod4n∈Z?n∈Z4n=1n=(at)n=atntn∈Z在Z4中只有1、3與4互質(zhì)所
9、以為生成元Z20的生成元為1、3、7、9、11、13、17、19得出的結(jié)論是否有一般的意義？§10.3循環(huán)群與置換群一、循環(huán)群1、定義設(shè)G為群，若存在a∈G使得G={ak
10、k∈Z}則稱G是循環(huán)群記作G=,稱a為G的生成元注:由群G中元素a生成的子群是循環(huán)群。由前面拉格郎日定理：素數(shù)階的群均為循環(huán)群2、循環(huán)群G＝根據(jù)元素a的階可分為：n階循環(huán)群和無限階循環(huán)群。例：整數(shù)加群是循環(huán)群設(shè)a是生成元?n∈Zn=ak=ka取n=1有1=ak必有a=1或-1它可由<1>,或<-1>生成因為?n∈Zn=1n或n=(-1)-n（一個循環(huán)群的生成元不唯一）整數(shù)加群是無限階循環(huán)群有兩個生成元推
11、廣：1、是循環(huán)群其生成元的集合是：M={a
12、a∈Zn且（a,n)=1互質(zhì)}2、素數(shù)階的群中除幺元以外的所有元素均為生成元定理10.11設(shè)G＝為循環(huán)群1）若G是無限階群，則G只有兩個生成元a和a-12）若G是n階循環(huán)群，則G含有ψ（n）個生成元。對于任何小于等于n且與n互素的正整數(shù)r，ar是G的生成元歐拉數(shù)：ψ（n）為0…n-1中與n互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)如n=9與9互質(zhì)的數(shù)有ψ（9）={1，2，4，5，7，8}主要驗證a-1是生成元顯然?G驗證G?ak=(a-1)-k再證只有這兩個生成元設(shè)b是其他生成元，則a=bt且b=ama=bt=(am)t
13、=amtamt-1=emt-1=0mt=1m=t=1或-1設(shè)G是以a為生成元的循環(huán)群，則1、若G是無限群，則G與整數(shù)加群同構(gòu)2、若G是有限群，則G與同構(gòu)只要建立映射：f:G→Z (Zn)因為?x∈Gx=akf(x)=k驗證f是函數(shù)、是雙射、保持運算有了此結(jié)論，定理10.11即可得到以整數(shù)加群為例<1>,<2>,<3>,<4>…均為其無限子群3.G={a0=e,a1,a2,…an-1}G的每個子群的階都是n
