循環(huán)群,子群.ppt

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1、Inourclasses,allthemobilephonesshouldbeswitchedoff!上課啦！Theclassisbegin!二、群中元素的階前面已介紹了群的階：

2、G

3、=G中所含元素的個(gè)數(shù)。下面利用單位元e，引入另一個(gè)新概念。1．階的定義與計(jì)算（1）定義設(shè)G為群，而a?G.如果有整數(shù)k，使ak=e，那么使這個(gè)等式成立的最小正整數(shù)m叫做G的階，記為

4、a

5、=m.如果這樣的m不存在，則稱(chēng)a的階是無(wú)限的，記為

6、a

7、=+∞。（2）階的計(jì)算方法按照定義尋找使成立的最小正整數(shù)。例1乘法群Z5*={[1],[2],[3],[4]}中，[1]是單位元，顯然

8、

9、[1]

10、=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，?

11、[2]

12、=4,同理知

13、[3]

14、=4,

15、[4]

16、=2。例2加法群={[0],[1],[2],[3],[4]}中，[0]是單位元，例3加法群中，0是單位元。?

17、0

18、=1，而其它元素a,

19、a

20、=+∞。例4乘法群中，1是單位元，?

21、1

22、=1,

23、-1

24、=2，而其它元素的階都是無(wú)限。說(shuō)明加法群中，元素的階的定義自然需做相應(yīng)的變化：設(shè)a?G，能夠使ma=0的最小正整數(shù)m叫做a的階，若這樣的m不存在，則稱(chēng)a的階是無(wú)限的，a的階仍記為

25、a

26、。例5設(shè)G={?0,?1,?2}

27、是由x3=1的三個(gè)復(fù)根組成的集合，而G中的代數(shù)運(yùn)算“○”是通常的乘法，那么必為一個(gè)乘法群。習(xí)慣上記為G3，叫做3次單位根群。這里證事實(shí)上（1）（2）結(jié)合律顯然成立（因?yàn)閺?fù)數(shù)集C中滿(mǎn)足結(jié)合律）.（3）?0=1是G中的單位元.（4）?0的逆元是?0，?1與?2互為逆元.所以為一個(gè)乘法群。不僅如此，我們還知：例6在非零有理數(shù)乘群Q*中，1的階是1，-l的階是2，其余元素的階均無(wú)限．例7在4次單位根群G={1,-1,i,-i}中,1的階是l，-l的階是2，i與-i的階都是4．2．群中元素的階的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)G是群，那么?a?G，若存在m?Z+，使

28、am=e?

29、a

30、?m（可知a的階是有限的）。證明由于am=e，這本身說(shuō)明

31、a

32、<+∞，令

33、a

34、=k，若k>m，則與元素的階的定義矛盾，故知k?m。性質(zhì)2設(shè)a?G,且若存在m?Z+使am=e?

35、a

36、=n<+∞,且n

37、m(但不能保證n=m)。證明由整數(shù)的帶余除法知,?g,r?Z使m=ng+r,r=0或者0

38、m.性質(zhì)3設(shè)a?G且

39、a

40、=n,那么n

41、m?am=e.證明“?”正是性質(zhì)2.“?”性質(zhì)4設(shè)群G中元素a的階是m,則

42、ak

43、=

44、m/(m,k),其中k為任意整數(shù)．證明首先，設(shè)(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1,則由于

45、a

46、=m,就有,即其次,設(shè)(ak)n=e,則akn=e.于是由性質(zhì)1,m

47、kn，從而m1

48、k1n,但(m1,k1)=1,故m1

49、n,因此,ak的階是m1,所以

50、ak

51、=m1=m/(k,m).說(shuō)明若有[m,n]的約數(shù)h,使[m,n]=hk，則可得

52、ck

53、=h，于是結(jié)論（3）又可以改為：對(duì)[m,n]的任一正因數(shù)h,G中有階是h的元素。性質(zhì)9群的元素和它的逆元有相同的階.證明設(shè)群G的元素a與a-1的階分別為m,n，由于am=e，于是(a-1)m=(

54、am)-1=e-1=e，由性質(zhì)l，n

55、m，而an=[(a-1)-1]n=[(a-1)n]-1=e-1=e，于是m

56、n，因此，m=n。性質(zhì)10設(shè)群G中元素a的階是m，b的階是n,則當(dāng)ab=ba且(m,n)=1時(shí),

57、ab

58、=m。證明首先，由于

59、a

60、=m,

61、b

62、=n,ab=ba,則(ab)mn=(am)n(bn)m=e;其次,若有正整數(shù)s使得(ab)s=e,則(ab)sm=(am)sbsm=bsm=e,但

63、b

64、=n,則n

65、sm.又因?yàn)?m,n)=1,所以n

66、s.同理可得m

67、s,再根據(jù)(m,n)=1,故mn

68、s,從而

69、ab

70、=mn.說(shuō)明值得注意的是:當(dāng)元素a與b不

71、滿(mǎn)足定理中的假設(shè)條件時(shí),其乘積的階會(huì)出現(xiàn)各種各樣的情況,將無(wú)法根據(jù)a,b的階來(lái)作出判斷。第十一講循環(huán)群、子群課時(shí)安排約2課時(shí)教學(xué)內(nèi)容1．循環(huán)群的思想，理想在循環(huán)群結(jié)構(gòu)中的主要的結(jié)果（i）數(shù)量總數(shù)，(ii)構(gòu)造問(wèn)題，（iii）循環(huán)群的生成元；2．子群包括的三層意思、子群的判定方法和構(gòu)造群的子群的方法；3．循環(huán)群的階與生成元的階的關(guān)系；4．兩類(lèi)循環(huán)群的本質(zhì)區(qū)別及各自的同構(gòu)象；5．循環(huán)群中元素之間的聯(lián)系和性質(zhì)；6．子群的構(gòu)成判斷和彼此等價(jià)的判斷條件；7．有限群的判斷定理；8．子群（集）的乘積和生成子群的概念；9．循環(huán)群的子群所具有的特性。教學(xué)重點(diǎn)1．G=的

72、定義，利用G=(a)的定義，證明有關(guān)的定理和命題；2．子群定義，利