循環(huán)群的性質(zhì)研究

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1、淮北師范大學(xué)2012屆學(xué)士學(xué)位論文循環(huán)群的性質(zhì)研究學(xué)院、專業(yè)一數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究方向高等代數(shù)學(xué)生姓名潘帥學(xué)號(hào)20081101142指導(dǎo)教師姓名張波指導(dǎo)教師職稱講師2012年4月3日循環(huán)群的性質(zhì)研究潘帥（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，淮北，235000）摘要設(shè)G是一個(gè)群，awG,如果群G屮的每一個(gè)元素都能寫成元素。的乘方的形式，則稱G是一個(gè)循環(huán)群，循環(huán)群是近世代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是一類基本研究明口的群，本文主要討論了循環(huán)群的和關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用。文屮首先介紹了群的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，由此引出循環(huán)群的定義和它的相關(guān)性質(zhì)，討論了循環(huán)群及其元

2、素，子群間的關(guān)系，然后利用循環(huán)群的基礎(chǔ)理論討論了循環(huán)群的同態(tài)、同構(gòu)，并給出了循環(huán)群的口同構(gòu)群是交換群的結(jié)論。關(guān)鍵詞：循環(huán)群，子群，同構(gòu)，口同構(gòu)群StudyonthePropertiesofCyclicGroupsPanShuai(SchoolofMathematicalscience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,235000)AbstractLetGbeagroup,aeG.Ifeveryelementcanbewrittentheformanwherenthenthegroupisacyclicgr

3、oup.Cyclicgroupsisanimportantcontentinthealgebra,alsoakindofgroupwasnearlyresearchedunderstand,thissubjectmainlydiscussedthecyclicgrouprelatedpropertiesandapplication.Thebasicknowledgeofrelevantfirstlybeintroducedinthissubject,thendrawnoutthedefinitionsofcirculationandso

4、merelatedproperties,discussedthecyclicgroupanditselements,eventherelationsbetweenthesubgroup,andusedthecirculationofthefoundationofthetheorytodiscussthecirculationaboutthehomomorphismandisomorphism,lastlymadeusknowtheconclusionswhatautomorphismgroupofcirculationgroupisan

5、exchangeofgroup.Keywords：cyclicgroup,subgroup,isomorphism,automorphismgroup一、弓丨言1二、群的定義1三、循環(huán)群的若干問題71、定義與性質(zhì)72、循環(huán)群的性質(zhì)83、循環(huán)群的判定9四、循環(huán)群的同態(tài)，同構(gòu)11五、結(jié)論14參考文獻(xiàn)14致謝15一、引言當(dāng)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一人特點(diǎn)是，在兒乎所有的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)被廣泛的應(yīng)用。近代數(shù)學(xué)的思想方法、觀點(diǎn)和結(jié)論正在深入地滲透進(jìn)白然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的眾多理論分支，這是因?yàn)楦鏖T學(xué)科越來越走向定量化，越來越需要用數(shù)學(xué)來表達(dá)其定量和定性

6、的規(guī)律，并且運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法和成就來加速自身的發(fā)展?！案呖萍急举|(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)〃的觀念已F1益為人們所共識(shí)。代數(shù)學(xué)是探討元素的運(yùn)算體系的，這些元素像數(shù)一樣，可以用加法或乘法或同時(shí)用兩者把它們結(jié)合起來。體系的性質(zhì)取決于一些基木定律(如閉合律、結(jié)合律、交換律、分配律、零和單位元素、負(fù)和逆等)中有哪些成立。人們研究滿足某些特定定律的抽彖體系，而群是現(xiàn)代代數(shù)學(xué)屮最基本、最重要的代數(shù)系，是一個(gè)非?；钴S的領(lǐng)域，也是忖前研究成果最豐富、研究最廣泛的代數(shù)系。群，簡而言Z是對(duì)某種運(yùn)算滿足閉合律、結(jié)合律、單位元素和逆這些定律的代數(shù)系。這一代數(shù)系的提出，對(duì)于

7、當(dāng)代數(shù)學(xué)及具它領(lǐng)域有著不可估量的作用，是代數(shù)發(fā)展史上由古典代數(shù)進(jìn)入近世代數(shù)的里程碑。群論自十九世紀(jì)E?Galois創(chuàng)立以來，不僅成為近世代數(shù)的重要分支，而且其應(yīng)用范圍已深入到科學(xué)技術(shù)各個(gè)領(lǐng)域。尤其是口然科學(xué)的物理、化學(xué)和生物的研究屮，群論已成為必不可少的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。二、群的定義在研究循環(huán)群的性質(zhì)之前，我們來研究一下什么叫群：群的第一定義：我們說，一個(gè)不空集合G對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群，假如I.G對(duì)于這個(gè)乘法來說是閉的；II.結(jié)合律成立：a(bc)=(ab)c對(duì)于G的任意三個(gè)元都對(duì)；IIT.對(duì)于G的任意兩個(gè)元來說，方

8、程ax=b和ya=b都在G里有解。例1G只包含一個(gè)元g?乘法gg=g?G對(duì)于這個(gè)乘法來說作成一個(gè)群。因?yàn)镮.G是閉的；TT-g(gg)=(gg)g=g；III.gx=g右解，就是g;yg=g有解，就是g?例