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《等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式課件(人教A版必修5).ppt》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第二章數(shù)列2.2等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式1.等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母表示.2同一個(gè)常數(shù)常數(shù)d如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示等差數(shù)列的定義?提示:若數(shù)列{an}滿足an-an-1=d(n∈N*,且n≥2,d為常數(shù))或an+1-an=d(n∈N*,d為常數(shù)),則數(shù)列{an}為等差數(shù)列.2.等差數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,填表:遞推公式通項(xiàng)公式=d(n≥2)an==am+an-an-1a1+(n-1)d(
2、n-m)d已知數(shù)列{an},an=2-3n,則數(shù)列的公差d=________.提示:當(dāng)n≥2時(shí),an-an-1=2-3n-[2-3(n-1)]=-3.3.等差中項(xiàng)在由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列中,叫做a與b的等差中項(xiàng).這三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式a+b=.A2A探究點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以解決以下三類(lèi)問(wèn)題:(1)已知an,a1,n,d中的任意三個(gè)量,可求出第四個(gè)量;(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,可以求出等差數(shù)列{an}中的任一項(xiàng),也可以判斷某一個(gè)數(shù)是否是該數(shù)列中的項(xiàng);(3)若已知{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次
3、函數(shù)或常函數(shù),則可判斷{an}是等差數(shù)列.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,分別根據(jù)下列條件寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式.(1)a3=5,a7=13;(2)前三項(xiàng)為a,2a-1,3-a.[提示]要寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,只需確定它的首項(xiàng)a1與公差d,然后代入an=a1+(n-1)d即可.1.等差數(shù)列中,已知a5=11,a8=5,求a10.探究點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列是一類(lèi)特殊的數(shù)列,是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,而等差數(shù)列的證明問(wèn)題往往作為一個(gè)數(shù)列解答題的一部分,是解決其他問(wèn)題的基礎(chǔ),因此必須熟練掌握證明等差數(shù)列的方法.證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列常用
4、的方法如下.(1)定義法:若an-an-1=d(常數(shù))(n≥2,且n∈N*)?{an}為等差數(shù)列;(2)等差中項(xiàng)法:若2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.[提示]先將遞推公式變換,運(yùn)用整體代換.探究點(diǎn)三等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用求解與等差數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用性問(wèn)題,最關(guān)鍵的是從實(shí)際問(wèn)題中提煉出適合實(shí)際問(wèn)題的等差數(shù)列模型,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列的問(wèn)題進(jìn)行求解.某公司經(jīng)銷(xiāo)一種數(shù)碼產(chǎn)品,2001年可獲利200萬(wàn)元,從第二年起,由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)方面的原因,其利潤(rùn)每年比上一年減少20萬(wàn)元,按照這一規(guī)律,如果公司不開(kāi)發(fā)新產(chǎn)
5、品,也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略,從哪一年起,該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損?[提示]建立等差數(shù)列的模型,利用通項(xiàng)公式解決問(wèn)題.[解]設(shè)從2001年起,第n年的利潤(rùn)為an,則a1=200,an-an-1=-20,n≥2,n∈N*.∴每年的利潤(rùn)將構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an},且公差d=-20.從而an=a1+(n-1)d=220-20n.若an<0,則該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損,∴由an=220-20n<0,得n>11.即從2012年起,該公司經(jīng)銷(xiāo)此產(chǎn)品將虧損.2.甲蟲(chóng)是行動(dòng)較快的昆蟲(chóng)之一.下表記錄了某種類(lèi)型的甲蟲(chóng)的爬行速度:時(shí)間t/s123…?…60距離s
6、/cm9.819.629.4…49…?(1)你能建立一個(gè)模型,表示甲蟲(chóng)的爬行距離和時(shí)間之間的關(guān)系嗎?(2)利用建立的模型計(jì)算,甲蟲(chóng)1min能爬多遠(yuǎn)?它爬行49cm需要多長(zhǎng)時(shí)間?已知數(shù)列{an},a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列?說(shuō)明理由;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.[錯(cuò)解](1)∵an=an-1+2,∴an-an-1=2(為常數(shù)).∴{an}是等差數(shù)列.(2)由上述可知,an=1+2(n-1)=2n-1.[錯(cuò)因]忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)之間的整體關(guān)系,而判斷特殊數(shù)列的類(lèi)型是初學(xué)者易犯的錯(cuò)誤.
7、事實(shí)上,數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起,以后各項(xiàng)組成等差數(shù)列,而{an}不是等差數(shù)列,an=f(n)應(yīng)該表示為“分段函數(shù)”型.因此我們?cè)谂袛嗟炔顢?shù)列時(shí),要嚴(yán)格按其定義判斷.[正解](1)當(dāng)n≥3時(shí),an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不滿足an-an-1=2(n≥3),∴{an}不是等差數(shù)列.