等差數(shù)列的概念及通項公式課件（人教A版必修5）.ppt

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1、第二章數(shù)列2.2等差數(shù)列的概念及通項公式1．等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．2同一個常數(shù)常數(shù)d如何用數(shù)學(xué)符號語言來表示等差數(shù)列的定義？提示：若數(shù)列{an}滿足an－an－1＝d(n∈N*，且n≥2，d為常數(shù))或an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列．2．等差數(shù)列的遞推公式與通項公式已知等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，填表：遞推公式通項公式＝d(n≥2)an＝＝am＋an－an－1a1＋(n－1)d(

2、n－m)d已知數(shù)列{an}，an＝2－3n，則數(shù)列的公差d＝________.提示：當(dāng)n≥2時，an－an－1＝2－3n－[2－3(n－1)]＝－3.3．等差中項在由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列中，叫做a與b的等差中項．這三個數(shù)滿足關(guān)系式a＋b＝.A2A探究點一等差數(shù)列的基本運算利用等差數(shù)列的通項公式可以解決以下三類問題：(1)已知an，a1，n，d中的任意三個量，可求出第四個量；(2)已知數(shù)列{an}的通項公式，可以求出等差數(shù)列{an}中的任一項，也可以判斷某一個數(shù)是否是該數(shù)列中的項；(3)若已知{an}的通項公式是關(guān)于n的一次

3、函數(shù)或常函數(shù)，則可判斷{an}是等差數(shù)列．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，分別根據(jù)下列條件寫出它的通項公式．(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三項為a,2a－1,3－a.[提示]要寫出等差數(shù)列的通項公式，只需確定它的首項a1與公差d，然后代入an＝a1＋(n－1)d即可．1．等差數(shù)列中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.探究點二等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，而等差數(shù)列的證明問題往往作為一個數(shù)列解答題的一部分，是解決其他問題的基礎(chǔ)，因此必須熟練掌握證明等差數(shù)列的方法．證明一個數(shù)列是等差數(shù)列常用

4、的方法如下．(1)定義法：若an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，且n∈N*)?{an}為等差數(shù)列；(2)等差中項法：若2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．[提示]先將遞推公式變換，運用整體代換．探究點三等差數(shù)列的實際應(yīng)用求解與等差數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用性問題，最關(guān)鍵的是從實際問題中提煉出適合實際問題的等差數(shù)列模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列的問題進行求解．某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，2001年可獲利200萬元，從第二年起，由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產(chǎn)

5、品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？[提示]建立等差數(shù)列的模型，利用通項公式解決問題．[解]設(shè)從2001年起，第n年的利潤為an，則a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.∴每年的利潤將構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}，且公差d＝－20.從而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an＜0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，∴由an＝220－20n＜0，得n＞11.即從2012年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損．2．甲蟲是行動較快的昆蟲之一．下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行速度：時間t/s123…？…60距離s

6、/cm9.819.629.4…49…？(1)你能建立一個模型，表示甲蟲的爬行距離和時間之間的關(guān)系嗎？(2)利用建立的模型計算，甲蟲1min能爬多遠(yuǎn)？它爬行49cm需要多長時間？已知數(shù)列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列？說明理由；(2)求{an}的通項公式．[錯解](1)∵an＝an－1＋2，∴an－an－1＝2(為常數(shù))．∴{an}是等差數(shù)列．(2)由上述可知，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.[錯因]忽視首項與所有項之間的整體關(guān)系，而判斷特殊數(shù)列的類型是初學(xué)者易犯的錯誤．

7、事實上，數(shù)列{an}從第2項起，以后各項組成等差數(shù)列，而{an}不是等差數(shù)列，an＝f(n)應(yīng)該表示為“分段函數(shù)”型．因此我們在判斷等差數(shù)列時，要嚴(yán)格按其定義判斷．[正解](1)當(dāng)n≥3時，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，而a2－a1＝0不滿足an－an－1＝2(n≥3)，∴{an}不是等差數(shù)列．