河北省保定市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)Word版含解析

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2022-2023學(xué)年度高三第一學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則A．B．C．D．2．若，則等于A．2B．6C．－2D．－63．?dāng)?shù)列滿足，，則A．2B．C．－2D．4．如圖，點(diǎn)P為射線與以原點(diǎn)O為圓心的單位圓的交點(diǎn)，一動點(diǎn)在圓O上以點(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時針方向運(yùn)動，每2秒轉(zhuǎn)一圈．則該動點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于運(yùn)動時間t的函數(shù)的解析式是A．B．C．D．12學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

15．函數(shù)的圖象大致是A．B．C．D．6．已知函數(shù)，若在上恰在兩個零點(diǎn)，則ω的值可以是A．B．1C．2D．37．已知橢圓C：，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，過做外角平分線的垂線交的延長線于N點(diǎn)．若，則橢圓的離心率A．B．C．D．8．已知三棱錐D-ABC的所有棱長均為2，以BD為直徑的球面與△ABC的交線為L，則交線L的長度為A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．某中學(xué)為了能充分調(diào)動學(xué)生對學(xué)術(shù)科技的積極性，鼓勵更多的學(xué)生參與到學(xué)術(shù)科技之中，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識，該學(xué)校決定邀請知名教授于9月2日和9月9日到學(xué)校做兩場專題講座．學(xué)校有東、西兩個禮堂，第一次講座地點(diǎn)的安排不影響下一次講座的安排，假設(shè)選擇東、西兩個禮堂作為講座地點(diǎn)是等可能的，則下列敘述正確的是A．兩次講座都在東禮堂的概率是B．兩次講座安排在東、西禮堂各一場的概率是12學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

2C．兩次講座中至少有一次安排在東禮堂的概率是D．若第一次講座安排在東禮堂，下一次講座安排在西禮堂的概率是10．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中A．AB與CD平行B．CD與GH是異面直線C．EF與GH成60°角D．CD與EF平行11．已知函數(shù)，則A．在上單調(diào)遞增B．無極小值C．無最小值D．有極小值，極小值為12．平面內(nèi)有一定點(diǎn)A和一個定圓O，P是圓O上任意一點(diǎn)．線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡可以是A．直線B．圓C．橢圓D．雙曲線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中x項的系數(shù)是．14．已知向量，，，，則．15．定義在R上的兩個函數(shù)和，已知，．若圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則___，．16．已知雙曲線：，圓：，在的第四象限部分取點(diǎn)P，過P做斜率為1的直線l，若l與交于不同的兩點(diǎn)M，N，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）數(shù)列的前n項和為滿足．12學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

3（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足，在數(shù)列中別除掉屬于數(shù)列的項，并且把剩余的項從小到大排列，構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前100項和．18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c，，點(diǎn)D在邊AB上，且．（1）求CD與c的關(guān)系；（2）若，求．19．（12分）已知矩形ABCD中，，，M為AB中點(diǎn)，沿AC將△ACD折起，得到三棱錐P-ABC．（1）求異面直線PM與AC所成的角；（2）當(dāng)二面角P-AB-B的大小為60°時，求AB與平面PBC所成角．20．（12分）根據(jù)《全國普通高等學(xué)校體育課程教學(xué)指導(dǎo)綱要》第六條：普通高等學(xué)校要對三年級及以上學(xué)生開設(shè)體育選修課．某學(xué)院大三、大四年級的學(xué)生可以選擇羽毛球、健美操、乒乓球、排球等體育選修課程，規(guī)定每位學(xué)生每學(xué)年只能從中選修一項課程，大三選過的大四不能重復(fù)選，每項課程一學(xué)年完成共計80學(xué)時．現(xiàn)在在該學(xué)院進(jìn)行乒乓球課程完成學(xué)時的調(diào)查，已知該學(xué)院本學(xué)年選修乒乓球課程大三與大四學(xué)生的人數(shù)之比為3：2，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從這兩個年級選修乒乓球課的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取100位同學(xué)的乒乓球課程完成學(xué)時，得到如下頻率分布表：成績（單位：學(xué)時）頻數(shù)（不分年級）3x213533頻數(shù)（大三年級）2616y16（1）求x，y的值；（2）在這100份樣本數(shù)據(jù)中，從完成學(xué)時位于區(qū)間的大四學(xué)生中隨機(jī)抽取2份，記抽取的這2份學(xué)時位于區(qū)間的份數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；12學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

4（3）已知該學(xué)院大三、大四學(xué)生選修乒乓球的概率為25%，本學(xué)年這兩個年級體育選修課程學(xué)時位于的學(xué)生占兩個年級總體的16%．現(xiàn)從該學(xué)院這兩個年級中任選一位學(xué)生，若此學(xué)生本學(xué)年選修的體育課程學(xué)時位于，求他選修的是乒乓球的概率（以樣本數(shù)據(jù)中完成學(xué)時位于各區(qū)間的頻率作為學(xué)生完成學(xué)時位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）．21．（12分）已知橢圓與直線l：有唯一的公共點(diǎn)M．（1）當(dāng)時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；（Ⅱ）如果推廣到一般橢圓，能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？（直接寫出結(jié)論即可）22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，是的一個極值點(diǎn)且，求及a的值；（2）已知，設(shè)，若，，且，求的最小值．2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題答案一、1—8．DBACA，CDA二、9—12．ABC，CD，CD，BCD三、13．4，14．，15．3；0，（第一個空2分，第二個空3分），16．5四、17．解：（1）在2Sn＝3an－3中令n＝1，得a1＝3，∵2Sn＝3an－3，∴當(dāng)n＞1時，2Sn－1＝3an－1－3，兩式相減得2an＝3an－3an－1，∴an＝3an－1，∴數(shù)列{an}是以1為首項，以3為公比為的等比數(shù)列，∴an＝3n．（2）∵bn＝3n，∴數(shù)列{an}中的項都在數(shù)列{bn}中．?dāng)?shù)列{an}前5項：3，9，27，81，243在數(shù)列{bn}前105項中．這五項和為363{bn}前105項的為數(shù)列{bn}前105項為3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315，它們的和為105×3＋12學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

5105×52×3＝16695所以數(shù)列{cn}的前100項和為數(shù)列{bn}前105項的和減去3、9、27、81、243的和，得：105×3＋105×52×3－363＝16332．18．解：（1）∵2CD·sinA＝b·sin∠ACB，由正弦定理得2CD·a＝b·c，∴CD＝c；（2）∵，∴，兩邊平方得，，即，化簡得：5c2＝2a2＋2b2．∵b＝2a，∴c2＝2a2．∴19．解：（1）設(shè)AC與DM相交于點(diǎn)O，∵矩形ABCD中AB＝2，，M為AB中點(diǎn)，∴AD∶DC＝MA∶AD，∴△ADC∽△MAD，∴∠DCA＝∠ADM，∵∠ACD＋∠DAC＝90°．∴∠ADM＋∠DAC＝90°，∴∠DOA＝90°，∴DM⊥AC．由折疊可知PO⊥AC，OM⊥AC，∵PO∩OM＝O，∴AC⊥平面POM，∵PM在平面POM內(nèi)，∴AC⊥PM．12學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

6∴PM與AC所成的角為90°（2）由（1）知，PO⊥AC，OM⊥AC，∴P—AC—B所成角為∠POM＝60°，，可知PM＝1，又∵AM＝1，，∴PM⊥AB，方法一：∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴，∴PA⊥PB，又∵PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，∴∠ABP即為AB與平面PBC所成的角，∵∠ABP＝45°，∴AB與平面PBC所成的角為45°．方法二：PM⊥AB，由（1）知AC⊥PM．AC與AB交與A點(diǎn)∴PM⊥平面ABC，取AC中點(diǎn)E，連接ME，則ME∥BC，∴ME⊥AB，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ME，MA，MP所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M—xyz，∴A（1，0，0），B（－1，0，0），，P（0，0，1），∴，，12學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

7∴平面PBC的法向量，設(shè)AB與平面PBC所成的角為α，則，∴AB與平面PBC所成的角為45°．20．解：（1）∵3＋x＋21＋35＋33＝100，∴x＝100－（3＋21＋35＋33）＝8，∵，∴y＝60－（2＋6＋16＋16）＝20，（2）由題意可知，X的取值可能為0，1，2，∵這100位學(xué)生學(xué)時在[30，60）的大四學(xué)生為8人，在[40，50）的大四學(xué)生為2人，，，，∴隨機(jī)變量X的概率分布列如表為：X012P∴隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為（Ⅲ）設(shè)兩個年級共有m人，A＝{大三大四中任選一學(xué)生一學(xué)年體育課程完成學(xué)時位于區(qū)間[70，80]}，B＝{大三大四中任選一學(xué)生體育課程選的乒乓球}，則由條件概率公式得即該生選乒乓球的概率約為0.5156．21．解：（1）將y＝kx＋4代入，得，整理得（2k2＋1）x2＋16kx＋16＝0……①．12學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

8因為M是橢圓與直線l的唯一公共點(diǎn)，所以（16k）2－4×16×（2k2＋1）＝0，得2k2＝1，∴或．將代入方程①解得，代入y＝kx＋4得y＝2；將代入方程①得，代入y＝kx＋4得y＝2．∴點(diǎn)M為或．（2）（?。＝kx＋m代入，得，整理得（2k2＋1）x2＋4kmx＋2（m2－8）＝0……②．因為M是橢圓與直線l的唯一公共點(diǎn)，所以（4km）2－4×2（2k2＋1）（m2－8）＝0，即m2＝16k2＋8……③．方程②的解為，將③式代入，得，將代入y＝kx＋m，得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因為k≠0，所以過點(diǎn)M且與l垂直的直線為．可得，，，即，．由，，得，，將，，代入m2＝16k2＋8得，所以16x2＋8y2＝64，整理得（xy≠0）．軌跡是焦點(diǎn)在y軸，長軸長為，短軸長為4的橢圓（去掉四個頂點(diǎn)）．（ⅱ）∴如果將此題推廣到一般橢圓（a＞b＞0），直線y＝kx＋m（k≠012學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

9），其他條件不變，可得點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程是（xy≠0），軌跡是焦點(diǎn)在y軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓（去掉四個頂點(diǎn)）．22．解：（1）f′（x）＝xex－a（x＞－1），∵x0是y＝f（x）的一個極值點(diǎn)且f（x0）＝－1∴f′（x0）＝0且f（x0）＝－1，即……①且……②聯(lián)立①②消去a得：，令F（x）＝（x2－x＋1）ex，則F′（x）＝（2x－1）ex＋（x2－x＋1）ex＝x（x＋1）ex，令F′（x）＝0得x＝0或x＝－1（舍）當(dāng)x∈（－1，0）時，F(xiàn)′（x）＜0，y＝F（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，＋∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，y＝F（x）單調(diào)遞增．∵F（0）＝1，∴有唯一解，∴x0＝0，把x0＝0代入①得a＝0，∴當(dāng)x0＝0，a＝0時，f（x）＝（x－1）ex滿足題意．（2）h（x）＝ex（xex－a＋a）＝xe2x∵g（x1）＝h（x2），∴，設(shè)t1＝lnx1，則，∵x1＞1，∴t1＞0，令F（x）＝xe2x，則F′（x）＝（2x＋1）e2x，當(dāng)x＞0時，F(xiàn)′（x）＞0，y＝F（x）單調(diào)遞增∴F（t1）＝F（x2），∴x2＝t1＝lnx1，……9分設(shè)H（x1）＝x1－2x2＝x1－2lnx1（x1＞1）∴，令H′（x1）＝0得x1＝2當(dāng)x1∈（1，2）時，H′（x1）＜0，∴H（x1）在（1，2）上單調(diào)遞減；當(dāng)x1∈（2，＋∞）時，H′（x1）＞0，∴H（x1）在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，12學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

10∵x1＝2時，H（x1）＝2－2ln2，∴x1－2x2的最小值為2－2ln212學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司

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