浙江省紹興市諸暨市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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諸暨市2022-2023學(xué)年高二第一學(xué)期期末考試試題數(shù)學(xué)試卷注意：1.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂?寫在答題紙上.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，公差為，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選:B.2.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)和的模長(zhǎng)分別為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以.所以，所以.故選：C3.若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求圓心到直線的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)和勾股定理可得答案.【詳解】因?yàn)榈膱A心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為；因?yàn)橄议L(zhǎng)為，所以，解得.故選：D.4.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若左支上的兩點(diǎn)與左焦點(diǎn)三點(diǎn)共線，且的周長(zhǎng)為8，則（）A.2B.3C.4D.6【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線的定義求解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線，所以a=1，由雙曲線的定義得：，兩式相加得，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為8，即，兩式相減得，故選：A5.已知正四面體的棱長(zhǎng)為為棱的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基底表示出，利用數(shù)量積的定義可求答案. 【詳解】因?yàn)镸是棱CD的中點(diǎn)，所以所以.故選：D.6.已知，則的最小值為（）A.2B.C.D.3【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式及線段和的性質(zhì)求解.【詳解】如圖，設(shè)，，，，表示點(diǎn)與之間的距離；表示點(diǎn)與之間的距離；表示點(diǎn)與之間的距離；表示點(diǎn)與之間的距離；所以，其中是以1為邊長(zhǎng)的正方形內(nèi)任意一點(diǎn)， ，；故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，等號(hào)成立，所以原式的最小值為.故選：B7.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則點(diǎn)列在同一坐標(biāo)平面內(nèi)不可能的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式確定正確答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，A選項(xiàng)，時(shí)，，圖象符合.B選項(xiàng)，時(shí)，，圖象符合.C選項(xiàng)，時(shí)，，圖象符合.D選項(xiàng)，由圖可知，都是負(fù)數(shù)，所以， 但圖象顯示時(shí)，或?yàn)檎龜?shù)，矛盾，所以D選項(xiàng)圖象不符合.故選：D8.在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為.閱讀上面材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，直線的方程為，則直線到平面的距離為（）A.0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面距離的空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求法直接求解.【詳解】由題可知點(diǎn)在直線上，取平面內(nèi)一點(diǎn),根據(jù)題設(shè)材料可知平面一個(gè)法向量為，,所以，所以直線到平面的距離為，故選:C.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，下列說法中正確的是（）A.傾斜角為B.傾斜角為C.斜率不存在D.斜率為0【答案】BD【解析】 【分析】根據(jù)直線方程得到斜率，進(jìn)而得到傾斜角.【詳解】解：因?yàn)橹本€方程為，所以斜率為0，傾斜角為，故選：BD10.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列C.成等比數(shù)列D.成等比數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，則有，所以，所以是以為公比的等比數(shù)列，A正確；，所以是以為公比的等比數(shù)列，B正確；若公比，則，所以不能構(gòu)成等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；若公比，且為偶數(shù)，則都等于0，此時(shí)不能構(gòu)成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選:AB.11.若曲線是由方程和共同構(gòu)成，則（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線圍成的圖形面積為C.若點(diǎn)在曲線上，則的取值區(qū)間是D.若圓能覆蓋曲線，則的最小值為2【答案】AD【解析】 【分析】對(duì)條件作代數(shù)變換得到E是由4個(gè)半圓組成，作曲線E的圖形，根據(jù)圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】由，得或，當(dāng)時(shí)，，是圓心為，半徑為1的半圓，同理可得E的其他部分，分別為圓心為半徑為1的半圓，圓心為半徑為1的半圓，圓心為半徑為1的半圓；作曲線E的圖形如下圖：圖中虛線部分是邊長(zhǎng)為2的正方形；對(duì)于A，顯然圖形關(guān)于對(duì)稱，正確；對(duì)于B，圖形的面積，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知的取值范圍是，錯(cuò)誤；對(duì)于D，覆蓋住曲線E的圓的半徑的最小值顯然是2，正確；故選：AD.12.如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，則下列命題中正確的是（）A.若點(diǎn)在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，它到直線的距離與到直線的距離之比為2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓B.若點(diǎn)在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，它到直線的距離與到面的距離之比為2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓 C.若點(diǎn)在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，它到直線的距離與到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線D.若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，分別是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題得，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)即得解；對(duì)于選項(xiàng)B，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)即得解；對(duì)于選項(xiàng)C，代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)即得解；對(duì)于選項(xiàng)D，對(duì)任意的點(diǎn)，固定點(diǎn)時(shí)，當(dāng)時(shí)，最小，即最小，把平面翻起來(lái)，使之和平面在同一個(gè)平面，當(dāng)時(shí)，最小，即得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則設(shè)因?yàn)槠矫?所以,所以點(diǎn)到直線的距離就是,同理點(diǎn)到直線的距離就是.所以,所以，所以，它表示圓，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，過點(diǎn)作,垂足為,因?yàn)槠矫嫫矫?，則點(diǎn)到平面的距離就是.所以,因?yàn)?，所以，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤； 對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)到直線的距離就是.所以，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，對(duì)任意的點(diǎn)，固定點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作平面，垂足為，連接，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)平面,所以,由于.所以，所以.如下圖，把平面翻起來(lái)，使之和平面在同一個(gè)平面，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí).故該選項(xiàng)正確.故選：ACD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線，直線，若，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)兩條直線垂直的充要條件算出答案即可.【詳解】因，所以，解得， 故答案為：.14.已知數(shù)列滿足：，則__________；__________.【答案】①.5②.【解析】【分析】利用賦值可得，利用退位相減可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.①當(dāng)時(shí)，②①-②得，，整理得.故答案為：15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)，若的最小值為5，則__________.【答案】【解析】【分析】討論點(diǎn)A與拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合的最小值為5，列出不等關(guān)系，求得m的范圍，可得答案.【詳解】當(dāng)線段與拋物線C沒有公共點(diǎn)，即點(diǎn)在拋物線外部時(shí)，或，此時(shí)當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，解得或，不合題意；當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，或，此時(shí)，即此時(shí)重合； 點(diǎn)在拋物線內(nèi)部時(shí)，，設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，則,共線時(shí)，取等號(hào)，符合題意，綜合上述可得若的最小值為5，則，故答案為：16.圓錐曲線有著令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，這些性質(zhì)均與它們的焦點(diǎn)有關(guān).如：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到橢圓上，經(jīng)過反射后通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從拋物線的焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的軸.某次科技展覽中某展品的一個(gè)截面由拋物線的一部分和一個(gè)“雙孔”的橢圓構(gòu)成（小孔在橢圓的右上方）.如圖，橢圓為的焦點(diǎn)，為下頂點(diǎn)，也為的焦點(diǎn)，若由發(fā)出一條光線經(jīng)過點(diǎn)反射后穿過一個(gè)小孔再經(jīng)拋物線上的點(diǎn)反射后平行于軸射出，由發(fā)出的另一條光線經(jīng)由橢圓上的點(diǎn)反射后穿過另一個(gè)小孔再經(jīng)拋物線上的點(diǎn)反射后平行于軸射出，若兩條平行光線間隔，則__________.【答案】 【解析】【分析】首先聯(lián)立直線與拋物線方程求得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后再聯(lián)立直線與橢圓方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，可得向量的坐標(biāo)，最后求得.【詳解】由題意得：可得拋物線方程，直線:,聯(lián)立，可得；因?yàn)閮蓷l平行光線間隔，所以，即.直線：，聯(lián)立橢圓方程，得，解得或（舍），所以；則，所以.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，若數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)分組求和.【小問1詳解】由題知 即解得，所以【小問2詳解】.18.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，右頂點(diǎn)為.（1）求雙曲線的方程；（2）已知過點(diǎn)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離求出b，再結(jié)合頂點(diǎn)求出a，從而求出雙曲線方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線，分類討論，判別式法求解【小問1詳解】雙曲線的一條漸近線為，故焦點(diǎn)到直線的距離為，所以，又，所以雙曲線方程為【小問2詳解】由題知，直線的斜率必存在.設(shè)直線方程為：聯(lián)立，消y得①當(dāng)時(shí)，上述方程只有一解，符合題意， 所以；②當(dāng)時(shí)，為使上述方程只有一解即，，化解得：，所以，所以.綜上，直線方程為：或.19.在一個(gè)平面上，，機(jī)器人從與點(diǎn)的距離為的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，在行進(jìn)過程中機(jī)器人所在位置保持與點(diǎn)的距離不變.（1）若，求它在行進(jìn)過程中到過點(diǎn)與點(diǎn)的直線的最近距離和最遠(yuǎn)距離；（2）若在行進(jìn)過程中存在某點(diǎn)使得，求的取值范圍.【答案】（1）最近距離為，最遠(yuǎn)距離為（2）【解析】【分析】（1）先求點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合圓心到直線的距離可得答案；（2）先求以為直徑的圓的方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系可得答案.【小問1詳解】設(shè)機(jī)器人所在位置，則,所以的軌跡是以為圓心，6半徑的圓.直線的方程為：，即,點(diǎn)到直線的距離為,所以到直線的最近距離為，到直線的最遠(yuǎn)距離為.【小問2詳解】的軌跡方程為設(shè)中點(diǎn)， 所以以為直徑圓方程，因?yàn)?，所以也在?所以與有公共點(diǎn)，即，所以.20.如圖，在多面體中，已知，，，，為等邊三角形.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）解法一，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用證明即可；解法二，利用線面垂直和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解即可；（2）解法一：利用空間向量法求解即可；解法二：作于于，連接，由勾股定理可得即為所求二面角.【小問1詳解】解法一：取中點(diǎn)，連，因?yàn)?，所以，在等邊三角形中，取中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊?故，所以，由，，平面， 得平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)?，所?解法二：取中點(diǎn)，連，因?yàn)?，所以，在等邊三角形中，取中點(diǎn)，連接，則，因，且，所以四邊形為平行四邊形.故，所以，由，，平面，得平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，取中點(diǎn)，連， 因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】解法一：，設(shè)平面的法向量為，則，解得，設(shè)平面的法向量，則，解得，設(shè)所求夾角為，則.解法二：作于于，連接， 在中，，所以，在中，，所以，所以為的中點(diǎn)，所以，所以，所以為平面與平面夾角或其補(bǔ)角，由平面得，在中，.（也可利用余弦定理求得）21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求及的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求得求，然后利用累乘法求得，利用求得.（2）利用裂項(xiàng)求和法化簡(jiǎn)題目所給不等式，結(jié)合分離常數(shù)法求得的最小值.【小問1詳解】， 時(shí)，，時(shí)上式也符合，即，所以，時(shí)，，時(shí)，上式也符合.所以，.【小問2詳解】時(shí)，故所以對(duì)任意的均成立，由于，所以，故.22.已知橢圓，離心率為，右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為1.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過作斜率為的直線交橢圓于，交軸于的中垂線交軸于，記以弦為直徑的圓的面積為的面積為，求.（3）已知且，若斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)恰在拋物線上.記的橫坐標(biāo)為，求的最大值. 【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，得出的值，再由橢圓的離心率公式求出的值，求出橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓聯(lián)立方程組，由弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)度，由圓的面積公式，從而求出；利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的中垂線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，由、點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積公式，求得，最后求出（3）利用點(diǎn)差法求出的斜率與的斜率的關(guān)系，把點(diǎn)代入拋物線方程，求出的表達(dá)式，利用證明數(shù)列的單調(diào)性的方法，證明單調(diào)遞減，由于橢圓和拋物線圖象的對(duì)稱性，可以得到一定小于等于它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，從而得出的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，從而求出的最大值.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，，，.【小問2詳解】，直線的方程為：，所以，設(shè)，聯(lián)立，得.， ，.將點(diǎn)代入直線方程得到，的中點(diǎn)的中垂線方程為：，令得，.，.【小問3詳解】設(shè),代入得,作差整理得，，即；,即；∵，點(diǎn)在拋物線上， ，，，且∵，.聯(lián)立，得到其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，（不符合要求），（不符合要求），（不符合要求），（符合）.的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中三角形面積的求解方法：（1）公式法：利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)作為三角形的底邊長(zhǎng)，利用點(diǎn)線距求出三角形的高線長(zhǎng)，結(jié)合三角形的面積公式可得答案；（2）分割法：把三角形分割成易于求解的若干三角形，求解面積之和即可.