四川省成都市成都市第七中學2023-2024學年高二上學期10月月考數(shù)學 Word版含解析.docx

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成都七中2023~2024學年度上期10月階段性測試數(shù)學試題考試時間：120分鐘總分：150分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知點，點，則直線傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由斜率公式可求得直線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得直線傾斜角.【詳解】，直線的傾斜角為.故選：C.2.已知直線，的方向向量分別為，，且直線，均平行于平面，平面的單位法向量為（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面法向量的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】設(shè)平面的單位法向量為，因為直線，均平行于平面，所以有，由可得：或，故選：D 3.有人從一座層大樓的底層進入電梯，假設(shè)每個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則該人在不同層離開電梯的概率是A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：設(shè)2人為A、B，則2人自2至6層離開電梯的所有可能情況為：（A2，B2），（A2，B3）,（A2，B4），（A2，B5），（A2，B6）,（A3，B2）,（A3，B3），…，（A6，B6）．共25個基本事件，2人在相同層離開電梯共包含（A2，B2）,（A3，B3）,（A4，B4）,（A5，B5）,（A6，B6）共5個事件，所以2人在不同層離開電梯共包含20個基本事件，概率為．考點：古典概型4.如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點為點M，，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算用表示出即可得．【詳解】-＝，.故選：A．5.某校高一年級15個班參加合唱比賽，得分從小到大排序依次為：，，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（） A.90B.C.86D.93【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第12個數(shù)和第13個數(shù)的平均數(shù)，即,故選：B6.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為2，方差為2.4B.中位數(shù)為3，方差為1.6C.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2D.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2【答案】A【解析】【分析】A選項，有平均數(shù)與方差間關(guān)系，可判斷選項正誤；BCD選項，通過舉反例可判斷選項正誤.【詳解】A選項，若5次結(jié)果中有6，因平均數(shù)為2，則方差，因，則當平均數(shù)為2，方差為2.4時一定不會出現(xiàn)點數(shù)6，故A正確；B選項，取5個點數(shù)為3,3,3,5,6，則此時滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為4，則方差，故B錯誤；C選項，取5個點數(shù)為2,2,3,5,6，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，故C錯誤；D選項，取5個點數(shù)為1,1,2,5,6，滿足中位數(shù)為2，平均數(shù)為3，故D錯誤.故選：A7.如圖，某圓錐的軸截面，其中，點B是底面圓周上的一點，且，點M是線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值是() A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用圓錐曲線的性質(zhì)，以點O為坐標原點，OC為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標系，利用向量方法即可求兩異面直線的夾角．【詳解】由圓錐的性質(zhì)可知平面，故可以點O為坐標原點，平面內(nèi)過點O且垂直于的直線為x軸，分別為y、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，易知，∵，∴，∴，∴，，∴，因此，異面直線與所成角的余弦值為．8.已知正方體，設(shè)其棱長為1（單位：）．平面與正方體的每條棱所成的角均相等，記為．平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結(jié)論正確的是（） A.可能為三角形，四邊形或六邊形B.C.的面積的最大值為D.正方體內(nèi)可以放下直徑為圓【答案】D【解析】【分析】A選項，如圖，建立以A為原點的空間直角坐標系，利用向量知識可知平面可為與垂直的平面，即可判斷選項正誤；B選項，由A選項分析及線面角計算公式可判斷選項正誤；C選項，由A選項分析可表示出兩種情況下的面積表達式，即可判斷選項正誤；D選項，問題等價于判斷內(nèi)部最大圓直徑最大值是否大于1.2.【詳解】A選項，如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則，.設(shè)平面法向量為，因平面與正方體的每條棱所成的角均相等，則.由對稱性，不妨取，則法向量可為，又，則平面可為與垂直的平面.如圖，連接，因平面ABCD，平面ABCD， 則，又平面，則平面，又平面，則，同理可得.又平面，，故平面.即平面可為與平面平行的平面，當平面與（不含A）相交時，M為與相似的正三角形；當平面與（不含）相交時，M為如圖所示的六邊形；當平面與相交時（不含），M為與相似的正三角形；則可能為三角形，六邊形，故A錯誤；B選項，由A選項分析可知，，故B錯誤.C選項，由A選項分析可知，當平面過或時，所得正三角形面積最大，由題可得邊長為，則相應(yīng)面積為.當為六邊形時，如下圖所示，因，，又，結(jié)合圖形可知，又由題可知六邊形為中心對稱圖形，取其對稱中心為O，則四邊形四邊形四邊形，則六邊形面積為相應(yīng)四邊形面積的3倍.取RS，RT中點分別為F，E，連接EF，OE，OF，因，則， 四邊形面積為四邊形面積2倍，則六邊形面積為四邊形面積6倍.設(shè)，由題結(jié)合圖形可知，，則在中，由余弦定理，.注意到，則四點共圓，則外接圓直徑等于OR，由正弦定理，可得.則，.則六邊形面積S，當且僅當時取等號.又，則的面積的最大值為，故C錯誤；D選項，先判斷M內(nèi)部的最大圓直徑最大值是否超過1.2m.當M為正三角形時，M內(nèi)部的最大圓為三角形內(nèi)切圓，易知當平面過或時，所得內(nèi)切圓半徑最大，設(shè)此時內(nèi)切圓半徑為，三角形面積為，周長為C， 則內(nèi)切圓直徑.當M為六邊形時，M內(nèi)部的最大圓半徑滿足，由C選項分析，可知，則當時，取最大值，則此時M內(nèi)部的最大圓直徑的最大值為，因，則，即正方體內(nèi)可以放下直徑為的圓，故D正確.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：本題首先需要通過向量方法，得到滿足題意的平面的具體特征，后利用幾何知識，結(jié)合正余弦定理可得圖形的面積最大值及其內(nèi)部最大圓直徑.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列命題中是真命題的為（）A.若與共面，則存在實數(shù)，使B.若存在實數(shù)，使向量，則與共面C.若點四點共面，則存在實數(shù)，使D.若存在實數(shù)，使，則點四點共面【答案】BD【解析】分析】根據(jù)平面向量基本定理以及空間向量基本定理，可知B、D項正確；若共線，則A結(jié)論不恒成立；若三點共線，則C項結(jié)論不恒成立.【詳解】對于A項，如果共線，則只能表示與共線的向量.若與不共線，則不能表示，故A項錯誤； 對于B項，根據(jù)平面向量基本定理知，若存在實數(shù)，使向量，則與共面，故B項正確；對于C項，如果三點共線，則不論取何值，只能表示與共線的向量.若點不在所在的直線上，則無法表示，故C項錯誤；對于D項，根據(jù)空間向量基本定理，可知若存在實數(shù)，使，則共面，所以點四點共面，故D項正確.故選：BD.10.已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量不重合），并且直線均不在平面內(nèi)，那么下列說法中正確的有（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】由空間向量的位置關(guān)系對選項逐一判斷，【詳解】已知直線不在平面內(nèi)，則，故A正確，D錯誤，由空間向量的位置關(guān)系得，，故B，C正確，故選：ABC11.以下結(jié)論正確的是（）A.“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的充分不必要條件．B.假設(shè)，且與相互獨立，則C.若，則事件相互獨立與事件互斥不能同時成立D.6個相同的小球，分別標有1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，設(shè)“第一次取出球的數(shù)字是1”，“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則與相互獨立【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義得到A錯誤，計算得到B 錯誤，根據(jù)互斥事件和獨立事件的定義得到C正確，計算得到，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的必要不充分條件，錯誤；對選項B：，，錯誤；對選項C：假設(shè)事件互斥且獨立，則，這與，矛盾，假設(shè)不成立，正確；對選項D：，，，故，與相互獨立，正確.故選：CD.12.如圖，已知矩形為中點，為線段（端點除外）上某一點．沿直線沿翻折成，則下列結(jié)論正確的是（）A.翻折過程中，動點在圓弧上運動B.翻折過程中，動點在平面的射影的軌跡為一段圓弧C.翻折過程中，二面角的平面角記為，直線與平面所成角記為，則．D.當平面平面時，在平面內(nèi)過點作為垂足，則的范圍為【答案】AD【解析】【分析】A選項，由題可知點P為以D為頂點的圓錐底面圓周上的點，即可判斷選項正誤；B選項，如圖，可證動點在平面的射影在過A點且與DF垂直的線段上，即可判斷選項正誤；C選項，結(jié)合B選項分析，可知與為同一等腰三角形的頂角和底角，即可判斷選項正誤；D選項，由題可得K點為在平面的射影軌跡與DC交點，如圖建立平面直角坐標系，表示出K點坐標，即可判斷選項正誤.【詳解】A選項，注意到翻折過程中，點P到D點距離不變，則P為以D為頂點，DP為母線的圓錐底面圓周上的點， 即動點在圓弧上運動，故A正確；B選項，如圖，作，連接PH，則，因平面PHA，則平面PHA.作，又平面PHA，則PI，又，平面，則平面.則在翻折過程中，動點在平面的射影在過A點且與DF垂直的直線上，即動點在平面的射影的軌跡為一段線段，故B錯誤；C選項，由B選項分析可知，二面角的平面角為，直線與平面所成角為，則可知與為同一等腰三角形的頂角和底角，則.則當時，，故C錯誤；D選項，結(jié)合B選項分析，當平面平面時，點P在線段DC正上方.則K點為在平面的射影軌跡與DC交點，即為DF過A點垂線與DC交點.如圖，建立以D為原點的平面直角坐標系，則.又由題設(shè)，其中，則，因，則，令，則，故D正確.故選：AD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.正方體各面所在的平面將空間分成__________個部分.【答案】27 【解析】【詳解】分上、中、下三個部分，每個部分分空間為個部分，共部分14.某人有3把鑰匙，其中2把能打開門，如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率為__________.【答案】【解析】【分析】分析試驗過程，利用概率的乘法公式即可求出概率.【詳解】記事件A：第二次才能打開門.因為3把鑰匙中有2把能打開門，而第一次沒有打開，第二次必然能打開.所以.故答案為：.15.如圖，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使，且（稱為異面直線的公垂線）．已知，，，則公垂線__________．【答案】或【解析】【分析】如圖，構(gòu)造符合題意的直三棱錐，結(jié)合題意及余弦定理可得答案.【詳解】如圖構(gòu)造一直三棱錐，使，則由題有：.在中，由余弦定理，可得，則； 如圖構(gòu)造一直三棱錐，使，則由題有：.在中，由余弦定理，可得，則.故答案為：或.16.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形圍成（如圖所示），若它所有棱的長都為2，則該該二十四等邊體的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】 【分析】利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合球的表面積公式進行求解即可.【詳解】把該幾何體放在正方體中，設(shè)正方體的棱長為，顯然面對角線為，因為該幾何體的所有棱的長都為2，所以，顯然，，所以，設(shè)該該二十四等邊體的外接球的半徑為，則所以該該二十四等邊體的外接球的表面積為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是把該幾何體放在正方體中，利用正方體的性質(zhì)進行求解.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.2023年8月8日，世界大學生運動會在成都成功舉行閉幕式.某校抽取100名學生進行了大運會知識競賽并紀錄得分（滿分：100分），根據(jù)得分將他們的成績分成六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）估計這100人競賽成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替）及中位數(shù)．【答案】（1） （2），【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)計算即可；（2）利用頻率分布直方圖求平均數(shù)及中位數(shù)的公式計算即可.【小問1詳解】由題意知：，即．【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知：平均數(shù)為：前3組的頻率為，所以中位數(shù)．18.用向量的方法證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.（三垂線定理的逆定理）【答案】證明見解析.【解析】【分析】先把定理用符號語言表示，然后利用向量的數(shù)量積為0證明垂直即可.【詳解】已知：如圖，PO，PA分別是平面的垂線、斜線，OA是PA在平面上的射影，，且.求證：.證明：如圖示，取直線的方向向量，同時取AP，PO.， 又且，即證.19.一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機地取出2個球.（1）求第二次取到紅球的概率；（2）求兩次取到的球顏色相同的概率；（3）如果袋中裝的是4個紅球，個綠球，已知取出的2個球都是紅球的概率為，那么是多少？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求出從10個球中不放回地隨機取出2個的不同取法數(shù)，再求出第二次取到紅球的不同取法數(shù)，然后求概率即可；（2）結(jié)合（1）求解即可；（3）由取出的2個球都是紅球的概率求出基本事件的個數(shù)，然后再求解即可.【小問1詳解】從10個球中不放回地隨機取出2個共有（種）可能，即，設(shè)事件“兩次取出的都是紅球”，則，設(shè)事件“第一次取出紅球，第二次取出綠球”，則，設(shè)事件“第一次取出綠球，第二次取出紅球”，則，設(shè)事件“兩次取出的都是綠球”，則，因為事件兩兩互斥，所以P（第二次取到紅球）.【小問2詳解】 由（1）得，P（兩次取到的球顏色相同）；【小問3詳解】結(jié)合（1）中事件，可得，，因為，所以，即，解得（負值舍去），故.20.如圖，正四面體，（1）找出依次排列的四個相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等．請在答卷上作出滿足題意的四個平面，并簡要說明并證明作圖過程；（2）若滿足（1）的平面，，，中，每相鄰兩個平面間的距離都為1，求該正四面體的體積．【答案】（1）答案見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意要作出相互平行且相鄰距離相等的平面，所以先作直線平行，且取等分點，例如可取的三等分點，，的中點，的中點，則有，，從而可得面面平行；（2）解法一：設(shè)正四面體的棱長為，根據(jù)題意建立合適的建立空間直角坐標系，再利用空間向量等得到點到平面的距離，從而求得的值，進而即可求得正四面體的體積；解法二：先將正四面體補形為正方體，結(jié)合條件確定正方體的棱長，即可求得正四面體的體積． 【小問1詳解】如圖所示，取的三等分點，，的中點，的中點，過三點，，作平面，過三點，，作平面，因為，，所以平面，再過點，分別作平面，與平面平行，那么四個平面，，，依次相互平行，由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，其中每相鄰兩個平面間的距離相等，故，，，為所求平面．（注：也可將正四面體放入正方體內(nèi)說明）【小問2詳解】解法一：設(shè)正四面體的棱長為，結(jié)合（1）有的中點，再取的中點，連接交于，則由等邊三角形的性質(zhì)可知為的中心，且，則以為坐標原點，以平行于直線且過點的直線為軸，直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，， 令，為的三等分點，為的中點，，，所以，，．設(shè)平面的法向量，則有，即，取，則，，即．又，，，相鄰平面之間的距離為1，所以點到平面的距離為，解得．由此可得，邊長為的正四面體滿足條件．所以所求正四面體的體積．解法二：放入正方體，轉(zhuǎn)化為平幾問題．如圖，將此正四面體補形為正方體，分別取，，，的中點，，，，平面與是分別過點，的兩平行平面，若其距離為1，則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設(shè)正方體的棱長為， 若，因為，，在直角三角形中，，所以，所以，又正四面體的棱長為，所以此正四面體的體積為．21.在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為中點．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，即可證明結(jié)論；（2）由直線與平面所成的角為，可得，建立以G為原點的空間直角坐標系，利用向量方法可得答案.【小問1詳解】證明：取中點，連接， 為的中點，，又，，四邊形為平行四邊形：，平面平面，平面；【小問2詳解】平面平面，平面平面平面，平面，取中點，連接，則平面，，，又，如圖以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，，，設(shè)平面的一個法向量，，則，取，則，平面的一個法向量可取，設(shè)平面與平面所成的夾角為，,平面與平面所成的夾角的余弦為 22.如圖，在八面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面平面，二面角與二面角的大小都是，，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)為的重心，是否在棱上存在點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求到平面的距離，若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）依題意可得平面，再由面面平行及，可得平面，如圖建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明，即可得到平面，再證明平面，即可得證；（2）設(shè)點，其中，利用空間向量法得到方程，求出的值，即可得解.【小問1詳解】因為為正方形，所以，又，，平面， 所以平面，所以為二面角的平面角，即，又平面平面，，所以平面，即為二面角的平面角，即，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，即，所以，因為平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面.【小問2詳解】由點在上，設(shè)點，其中，點，所以，平面的法向量可以為，設(shè)與平面所成角為，則， 即，化簡得，解得或（舍去），所以存在點滿足條件，且點到平面的距離為.